hej, nie moge nigdzie znaleźć dowodu na zadanie 1. wiem, że istnieje takie twierdzenie, ale co z dowodem? zadanie 2 natomiast zrobiłam inaczej, w jaki sposób udowodnić z definicji?
Zad. 1. udowodnić,że jeżeli n nie jest liczbą pierwszą, to zbiór \(\displaystyle{ Z _{n}}\) nie jest ciałem.
Zad. 2. niech x, y będą wektorami a \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) skalarami. Wykazać z definicji przestrzeni liniowej, że: \(\displaystyle{ \alpha \cdot x+ \beta \cdot y= \beta \cdot x+ \alpha \cdot y \Leftrightarrow \alpha = \beta \vee x=y}\)
Zad. 3. W przestrzeni wektorowej V nad ciałem C określamy mnożenie wektorów przez liczby zespolone wzorem: \(\displaystyle{ \alpha \circ x= \overline{ \alpha } \cdot x}\). Wykazać, że V z działaniami + i \(\displaystyle{ \circ}\) jest przestrzenią wektorową nad C.
przestrzeń liniowa i ciało
-
TPB
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
przestrzeń liniowa i ciało
W zadaniu pierwszym sprawdź w postaci tabelki czy ciałami są \(\displaystyle{ Z_{2},Z_{3},...Z_{6}}\). Zobacz gdzie się psuję jeden z warunków ciała. Powinieneś coś zauważyć i będzie łatwiej udowodnić Twoje twierdzenie. Możesz też zastosować zasadę kontrapozycji: jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ Z_{n}}\) jest ciałem.
Co do zadania 1, to działaniami jest dodawanie i mnożeniem modulo n, jak rozumiem?
W zadaniu drugim dowód rozbij na dowód dwóch implikacji.
W zadaniu 3 jaki jest problem? Zbiór liczb zespolonych jest ciałem prawda? Więc definicje weź do ręki i zacznij sprawdzać kolejne warunki.
Co do zadania 1, to działaniami jest dodawanie i mnożeniem modulo n, jak rozumiem?
W zadaniu drugim dowód rozbij na dowód dwóch implikacji.
W zadaniu 3 jaki jest problem? Zbiór liczb zespolonych jest ciałem prawda? Więc definicje weź do ręki i zacznij sprawdzać kolejne warunki.
przestrzeń liniowa i ciało
Zadanie 2 zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot x+ \beta \cdot y- \beta \cdot x- \alpha \cdot y=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-y\right) \cdot \left( \alpha - \beta \right) =0}\)
\(\displaystyle{ x=y \vee \alpha = \beta}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
1. założenie że \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) (x=y analogicznie)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot x+ \alpha \cdot y= \alpha \cdot x+ \alpha \cdot y}\)
x+y=x+y a to jest prawda
i to jest na podstawie definicji?
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot x+ \beta \cdot y- \beta \cdot x- \alpha \cdot y=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-y\right) \cdot \left( \alpha - \beta \right) =0}\)
\(\displaystyle{ x=y \vee \alpha = \beta}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
1. założenie że \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) (x=y analogicznie)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot x+ \alpha \cdot y= \alpha \cdot x+ \alpha \cdot y}\)
x+y=x+y a to jest prawda
i to jest na podstawie definicji?
-
TPB
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
przestrzeń liniowa i ciało
Tak bo korzystasz z własności (aksjomatów) przestrzeni liniowej. Między pierwszą i drugą linijką zastosowałeś rozdzielność mnożenia względem dodawania (są dwie własności, jedna dotyczy skalarów druga wektorów). Potem korzystasz z takiej własności (twierdzenia):
\(\displaystyle{ \alpha x = 0 \Leftrightarrow \alpha =0 \vee x=0}\)
Jeśli tego nie miałeś na zajęciach, to spróbuj to udowodnić.
Co do implikacji odwrotnej, to lepiej będzie jak będziesz rozważć odejmowanie, tak jak w implikacji prostej. Potem korzystasz z twierdzenia (własności), które powyżej przedstawiłem.
\(\displaystyle{ \alpha x = 0 \Leftrightarrow \alpha =0 \vee x=0}\)
Jeśli tego nie miałeś na zajęciach, to spróbuj to udowodnić.
Co do implikacji odwrotnej, to lepiej będzie jak będziesz rozważć odejmowanie, tak jak w implikacji prostej. Potem korzystasz z twierdzenia (własności), które powyżej przedstawiłem.
przestrzeń liniowa i ciało
w takim razie w odwrotnej bedzie przeciez tak samo jak w normalnej...czy nie?
co do dowodu zad. 1 wlasnie chodzilo mi o twierdzenie ze jesli n jest pierwsza to Zn jest cialem tylko jak to udowodnic?
co do dowodu zad. 1 wlasnie chodzilo mi o twierdzenie ze jesli n jest pierwsza to Zn jest cialem tylko jak to udowodnic?
-
TPB
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
przestrzeń liniowa i ciało
To nie będzie to samo, ale prawie to samo . Tam z założenia masz gwarancję, że wartość jednego z nawiasów jest 0, a więc całość jest zerem.
Co do dowodu z zadania 1, sprawdź warunki ciała dla \(\displaystyle{ Z_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) psuje się chyba tylko istnienie elementu odwrotnego. Ten warunek jest spełniany tylko dla n będącego liczbą pierwszą Co do mnożenia modulo n zauważ, że jeżeli n jest liczbą pierwszą, to jeżeli pomnożysz dowolne dwa elementy z ciała \(\displaystyle{ Z_{n}}\) nigdy nie dostaniesz 0. Mam nadzieję, że ta wskazówka Ci pomoże.
Co do dowodu z zadania 1, sprawdź warunki ciała dla \(\displaystyle{ Z_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) psuje się chyba tylko istnienie elementu odwrotnego. Ten warunek jest spełniany tylko dla n będącego liczbą pierwszą Co do mnożenia modulo n zauważ, że jeżeli n jest liczbą pierwszą, to jeżeli pomnożysz dowolne dwa elementy z ciała \(\displaystyle{ Z_{n}}\) nigdy nie dostaniesz 0. Mam nadzieję, że ta wskazówka Ci pomoże.
-
TPB
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
przestrzeń liniowa i ciało
Co do zadania 1, to udowodnię w połowie taki fakt: jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą, to dla każdego elementu z ciała \(\displaystyle{ Z_{n}}\) z wyjątkiem \(\displaystyle{ 0}\) istnieje element odwrotny.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą pierwszą. Rozważmy elementy ciała: \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n-1\right\}}\). Zauważ, że dla każdego \(\displaystyle{ a,b \in Z_{n} \setminus \left\{ 0\right\}}\) mamy:
\(\displaystyle{ a \cdot _{n} b \neq 0}\). Gdyby ten iloczyn był równy 0, to jedna z liczb a,b musiałaby być podzielna przez n, czyli wielokrotnością liczby n, ale tak zdarzyć się nie może. Teraz należy pokazać, że
\(\displaystyle{ a \cdot _{n} b= a \cdot _{n} c}\), to \(\displaystyle{ b=c}\). Spróbuj to dowieść metodą niewprost.
Jeżeli to udowodnisz, to będzie to oznaczało, że dla elementu a istnieje element odwrotny, co wobec dowolności elementu a, oznacza, że dla każdego elementu tego ciała (z wyjątkiem 0) istnieje element odwrotny. Tyle mówi nam jeden z aksjomatów. Sprawdzenie reszty warunków jest już dużo prostsze i zachodzi dla dowolnego n (niekoniecznie liczby pierwszej).
Co do ogólnej metody jak udowodnić, ze coś jest ciałem. Po prostu sprawdzasz 9 aksjomatów ciała. Wszystkie muszą być spełnione. Tutaj bardzo łatwo uzasadnisz łączność, istnienie elementów neutralnych, przemienność itp.
-- 16 maja 2012, o 18:10 --
Dobra istnienie elementu odwrotnego udowodnię już do końca.
Niech \(\displaystyle{ a \cdot _{n} b= a \cdot _{n} c}\) i przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b \neq c}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ a \cdot _{n} b - a \cdot _{n} c = 0}\)
\(\displaystyle{ a\cdot _{n}\left( b-c\right) = 0}\)
Stąd wynika, że b=c, wbrew przypuszczeniu. Innej możliwości być nie może (to wyrażenie zerowałoby się gdyby a było równe n lub b-c równe wielokrotności liczby n, co też jest niemożliwe).-- 16 maja 2012, o 18:48 --Aha najpierw musisz wykazać rozdzielność względem dodawania, bo z tej własności tutaj korzystałem.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą pierwszą. Rozważmy elementy ciała: \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n-1\right\}}\). Zauważ, że dla każdego \(\displaystyle{ a,b \in Z_{n} \setminus \left\{ 0\right\}}\) mamy:
\(\displaystyle{ a \cdot _{n} b \neq 0}\). Gdyby ten iloczyn był równy 0, to jedna z liczb a,b musiałaby być podzielna przez n, czyli wielokrotnością liczby n, ale tak zdarzyć się nie może. Teraz należy pokazać, że
\(\displaystyle{ a \cdot _{n} b= a \cdot _{n} c}\), to \(\displaystyle{ b=c}\). Spróbuj to dowieść metodą niewprost.
Jeżeli to udowodnisz, to będzie to oznaczało, że dla elementu a istnieje element odwrotny, co wobec dowolności elementu a, oznacza, że dla każdego elementu tego ciała (z wyjątkiem 0) istnieje element odwrotny. Tyle mówi nam jeden z aksjomatów. Sprawdzenie reszty warunków jest już dużo prostsze i zachodzi dla dowolnego n (niekoniecznie liczby pierwszej).
Co do ogólnej metody jak udowodnić, ze coś jest ciałem. Po prostu sprawdzasz 9 aksjomatów ciała. Wszystkie muszą być spełnione. Tutaj bardzo łatwo uzasadnisz łączność, istnienie elementów neutralnych, przemienność itp.
-- 16 maja 2012, o 18:10 --
Dobra istnienie elementu odwrotnego udowodnię już do końca.
Niech \(\displaystyle{ a \cdot _{n} b= a \cdot _{n} c}\) i przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b \neq c}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ a \cdot _{n} b - a \cdot _{n} c = 0}\)
\(\displaystyle{ a\cdot _{n}\left( b-c\right) = 0}\)
Stąd wynika, że b=c, wbrew przypuszczeniu. Innej możliwości być nie może (to wyrażenie zerowałoby się gdyby a było równe n lub b-c równe wielokrotności liczby n, co też jest niemożliwe).-- 16 maja 2012, o 18:48 --Aha najpierw musisz wykazać rozdzielność względem dodawania, bo z tej własności tutaj korzystałem.