Przestrzenie liniowe (funkcja ciągłą)

[PoisonPrince]

Mam do rozwiązania następujące zadanie:

Niech
\(\displaystyle{ C\left( \left[ 0, 1\right] \right):= \left\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}| f \hbox{ jest ciągła}\right\}}\)

oraz niech

\(\displaystyle{ C\left( \left[ 0, 1\right] \right)_{\left( x_{0}\right)}:=\left\{ f \in C\left( \left[ 0, 1\right] \right)|f\left( x_{0}\right) =0 \right\}}\),

gdzie \(\displaystyle{ x_{0} \in \left[ 0, 1\right]}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ C\left( \left[ 0, 1\right] \right)}\) wraz z działaniami dodawania i mnożenia funkcji przez skalar jest przestrzenią liniową nad mathbb{R}, proszę wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x_{0} \in \left[ 0, 1\right]}\) zbiór \(\displaystyle{ C\left( \left[ 0, 1\right] \right)_{\left( x_{0}\right)}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ C\left( \left[ 0, 1\right] \right)}\) oraz, że dla każdego \(\displaystyle{ x_{0} \in \left[ 0, 1\right]}\) istnieje bijekcja

\(\displaystyle{ q_{x_{0}}:C\left( \left[ 0, 1\right] \right)/ C\left( \left[ 0, 1\right] \right)_{\left( x_{0}\right)} \rightarrow \mathbb{R}}\).

Kompletnie nie wiem jak zabrać się za to zadanie. Za wszelkie sugestie będę bardzo wdzięczny.

[Majeskas]

Jesteś pewien, że definicja Twojej przestrzeni liniowej nie wygląda tak:
\(\displaystyle{ C([0,1])=\left\{ f\in\mathbb R^{[0,1]}:\ f\textrm{ jest ciągła}\right\}}\)?-- 15 maja 2012, 17:52 --Takie zadania robi się z definicji podprzestrzeni.

[PoisonPrince]

Treść zadania na pewno wygląda tak, jak to napisałem w pierwszym poście.

[Majeskas]

To trochę dziwne, bo oznaczenie \(\displaystyle{ C(A)}\) oznacza w tym kontekście zawsze zbiór funkcji ciągłych z \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), więc nadal śmiem przypuszczać, że coś pomyliłeś, ale niech będzie - pojedźmy tak.

Trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ C([0,1])_{(x_0)}}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ C([0,1])}\), a ponadto

(i) \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{f_1,f_2\in C([0,1])_{(x_0)}}f_1+f_2\in C([0,1])_{(x_0)}}\)

(ii) \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\substack{f\in C([0,1])_{(x_0)}\\a\in\mathbb R}}af\in C([0,1])_{(x_0)}}\)