Wymiar i baza przestrzeni

kasiczka15m · Post autor: **kasiczka15m** » 13 maja 2012, o 17:57

Wyznacz wymiar i bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ L(R ^{2}, R ^{3})}\).
Przez L(V,W) oznaczamy przestrzeń przekształceń liniowych z przestrzeni V w przestrzeń W.

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 13 maja 2012, o 18:38

Elementami są macierze 3x2, a więc mające sześć elementów. Wymiar tej przestrzeni to zatem 6.

Bazą są macierze, które są zerowe wszędzie poza miejscem \(\displaystyle{ (i,j)}\) i mające na tym miejscu 1; \(\displaystyle{ i=1,2, 3, j=1,2}\).

kasiczka15m · Post autor: **kasiczka15m** » 13 maja 2012, o 18:41

ale skąd wiemy że są to macierze?

TPB · Post autor: **TPB** » 16 maja 2012, o 07:47

Każdemu odwzorowaniu liniowemu odpowiada pewna macierz. Jak znamy odwzorowanie liniowe, to znamy macierz i vice versa.
Ponadto podana przez Ciebie przestrzeń jest izomorficzna, z przestrzenią \(\displaystyle{ M_{3x2}\left( \mathbb{R}\right)}\). Ta przestrzeń ma wymiar 6, łatwo sprawdzić, tak jak napisał Spektralny. Weź bazę tej przestrzeni - opisaną powyżej i znajdź odwzorowania liniowe, które im odpowiadają