Znaleźć wartości własne operatora

[MarkoseK]

Mam takie zadanko:

Wyznaczyć wartości własne operatora \(\displaystyle{ F \in {End V}, V=\mathbb{R}_2^2}\), takiego że:
\(\displaystyle{ F(\bf{X}):=\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix} \bf{X} \begin{bmatrix} 0&-1\\2&3\end{bmatrix}}\).

Wiem jak wyznaczyć wartości własne, gdy mam jedną macierz, ale gdy są dwie gubię się i nie wiem co mam zrobić, aby wyznaczyć wartości. W zbiorze mam dane 4 odpowiedzi i za nic w świecie nie wiem skąd się wzięły. Czy mógłby ktoś nakreślić jak się do tego zabrać?

[Ein]

Co to jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2^2}\)?

[MarkoseK]

Macierze 2x2 o wyrazach z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[Ein]

Po pierwsze to trzeba zapisać ten operator jakoś sensownie (np. jako macierz). Jako że przestrzeń \(\displaystyle{ M_{2\times2}(\mathbb{R})}\) (czyli Twoje \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2^2}\)) jest 4-wymiarowa (bazą są np. macierze z jedną jedynką i samymi zerami -- patrz niżej), to macierz operatora jest macierzą \(\displaystyle{ 4\times4}\).

Sprawdź zatem, jakie wartości przyjmuje \(\displaystyle{ F}\) dla wektorów:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\)

które stanowią wspomnianą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2^2}\).

[MarkoseK]

Dostałem w wyniku 4 macierze 2x2:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&-1\\0&-1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2&3\\2&3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&-2\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}4&6\\0&0\end{array}\right]}\)

Tylko co w związku z tym?

[Ein]

No to znaczy, że macierz operatora \(\displaystyle{ F}\) jest zadana w bazie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\) następująco:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&2&0&4\\-1&3&-2&6\\0&2&0&0\\-1&3&0&0\end{array}\right]}\)

Wystarczy teraz, że znajdziesz wartości własne i wektory z nimi stowarzyszone podanej macierzy.

Rozumiesz, co się dzieje?

[MarkoseK]

Widzę, że transponujesz poszczególne macierze i w jakiej kolejności je wpisujesz, niestety nie wiem dlaczego akurat tak.

[Ein]

Niczego nie transponuję. Spójrz:

Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2^2}\) jest przestrzenią liniową i jej bazą stanowią wektory \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\), tzn. każdą macierz \(\displaystyle{ A\in\mathbb{R}_2^2}\) można zapisać jednoznacznie jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\). Słowem, traktujemy macierze jako wektory!


Operator liniowy \(\displaystyle{ F:\mathbb{R}_2^2\to\mathbb{R}_2^2}\) przekształca macierze \(\displaystyle{ 2\times2}\) na macierze \(\displaystyle{ 2\times2}\), czyli dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A\in\mathbb{R}_2^2}\) \(\displaystyle{ F(A)}\) jest macierzą, którą można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazowych \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\).


Dla dowolnego operatora jego macierz w pewnej bazie otrzymujemy sprawdzając wartości operatora na wektorach z tej bazy. Tutaj np. mamy: \(\displaystyle{ F\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]\right)=0\cdot\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]+(-1)\cdot\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right]+0\cdot\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right]+(-1)\cdot\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\).


Wobec powyższego pierwsza kolumna macierzy operatora \(\displaystyle{ F}\) w bazie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\) jest równa:

\(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ -1}\)

Podobnie postępujemy z pozostałymi wektorami z bazy, by otrzymać macierz \(\displaystyle{ F}\).

[MarkoseK]

Genialne w swej prostocie i formie przekazu Jestem Ci wdzięczny, bardzo dużo mi tym wyjaśniłeś. Odpowiedź wychodzi oczywiście zgodna z tym czego szukałem. Jeszcze raz bardzo dziękuję

[Ein]

Nie ma sprawy Jak będziesz miał jeszcze jakieś pytanie, to pytaj śmiało.