Przekształcenie Liniowe- przykład

[Mitasek]

Witam. Zbliża się kolokwium, a ja nie do końca łapię o co chodzi w przekształceniach. Mógłby ktoś rozwiązać to zadanie, żebym zobaczył o co właściwie chodzi?

Sprawdź, czy:

Odwzorowanie \(\displaystyle{ h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{ R} ^{3}}\) określone w następujący sposób:
\(\displaystyle{ h \left( x _{1} , x _{2} \right) = \left[ x _{1} +3 x _{2} , x _{1} + x _{2} , 2 x _{1} \right]}\) jest przekształceniem liniowym.

Z góry dziękuję.

[octahedron]

Przekształcenie jest liniowe, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v\in R^2,\,\alpha,\beta\in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ h(\alpha u+\beta v)=\alpha\cdot h(u)+\beta\cdot h(v)}\), więc sprawdzamy:

\(\displaystyle{ u=(x_1,x_2)\\\\
v=(y_1,y_2)\\\\
h(\alpha u+\beta v)=\\\\=h(\alpha x_1+\beta y_1,\alpha x_2+\beta y_2)=\\\\=[\alpha x_1+\beta y_1+3\alpha x_2+3\beta y_2;\alpha x_1+\beta y_1+\alpha x_2+\beta y_2;2\alpha x_1+2\beta y_1]=\\\\=[\alpha x_1+3\alpha x_2;\alpha x_1+\alpha x_2;2\alpha x_1]+[\beta y_1+3\beta y_2;\beta y_1+\beta y_2;2\beta y_1]=\\\\=\alpha[x_1+3x_2;x_1+x_2;2x_1]+\beta[y_1+3y_2;y_1+y_2;2y_1]=\\\\=\alpha \cdot h(x_1,x_2)+\beta \cdot h(y_1,y_2)}\)

czyli jest liniowe

[Mitasek]

Dziękuję bardzo A gdybyś jeszcze mógł sprawdzić izomorfizm? Tzn. Różnowartościowość wiem jak udowodnić, ale co do "na" to nie jestem pewien.

[octahedron]

\(\displaystyle{ h(x_1,x_2)=[a,b,c]\\\\
\begin{cases} x_1+3x_2=a\\x_1+x_2=b\\2x_1=c\end{cases}\\\\
\begin{cases} \frac{c}{2}+3x_2=a\\\frac{c}{2}+x_2=b\\x_1=\frac{c}{2}\end{cases}\\\\
\begin{cases} 3b-c=a\\x_2=b-\frac{c}{2}\\x_1=\frac{c}{2}\end{cases}\\\\}\)

czyli obrazem tego przekształcenie są tylko wektory \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) takie, że \(\displaystyle{ 3b-c=a}\), więc nie jest "na"

[Mitasek]

Czyli jak rozumiem, byłoby "na" gdyby a=b=c?

[octahedron]

Nie, wtedy obrazem byłyby wektory o wszystkich współrzędnych jednakowych. Jeśli wynikiem przekształcenia ma być dowolny wektor, to na \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie mogą być nałożone żadne warunki, czyli w trzecim równaniu musiałoby wyjść \(\displaystyle{ 0=0}\)