transformacja współrzędnych ortonormalnych

[freevolity]

Nie jestem pewna, czy dobrze umieściłam temat. Jeśli nie, proszę o przeniesienie. (zadania z algebry liniowej i geometrii)

Znaleźć transformację współrzędnych ortonormalnych, sprowadzających równania krzywej stopnia 2-go do postaci kanonicznej i podać kanoniczną postać równania:
\(\displaystyle{ 3x^2+2xy+3y^2+6x-2y-5=0}\)

nie rozumiem nawet samego polecenia ;p

[kamucha92]

Mam właśnie takie samo zadania i zupełnie nie wiem jak to ugryźć.

[octahedron]

Chyba chodzi o coś takiego:

\(\displaystyle{ 3(x-a)^2+2(x-a)(y-b)+3(y-b)^2+c=0\\\\
3x^2+2xy+3y^2-(6a+2b)x-(2a+6b)y+3a^2+3b^2+2ab+c=0}\)

Porównujemy z równaniem wyjściowym, stąd:

\(\displaystyle{ \begin{cases}6a+2b=-6\\2a+6b=2\\3a^2+3b^2+2ab+c=-5\end{cases}\\
\begin{cases}a=-\frac{5}{4}\\b=\frac{3}{4}\\c=-\frac{19}{2}\end{cases}\\}\)

czyli dostajemy

\(\displaystyle{ 3\left(x+\frac{5}{4}\right)^2+2\left(x+\frac{5}{4}\right)\left(y-\frac{3}{4}\right)+3\left(y-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{19}{2}=0\\\\
\begin{cases}\xi=x+\frac{5}{4}\\\eta=y-\frac{3}{4}\end{cases}\\\\
3\xi^2+2\xi\eta+3\eta^2=\frac{19}{2}\\\\
3\xi^2+2\xi\eta+\frac{1}{3}\eta^2+\frac{8}{3}\eta^2=\frac{19}{2}\\\\
3\left( \xi+\frac{1}{3}\eta\right)^2+\frac{8}{3}\eta^2=\frac{19}{2}\\\\
\begin{cases}X=\xi+\frac{1}{3}\eta=x+\frac{1}{3}y+1\\Y=\eta=y-\frac{3}{4}\end{cases}\\\\
3X^2+\frac{8}{3}Y^2=\frac{19}{2}\\\\
\frac{6}{19}X^2+\frac{16}{57}Y^2=1\\\\
\frac{X^2}{\frac{19}{6}}+\frac{Y^2}{\frac{57}{16}}=1}\)