Sprawdź, że podane zbiory W są podprzestrzeniami liniowymi

[MichalPWr]

Sprawdź, że podane zbiory \(\displaystyle{ W}\) są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ V}\):

\(\displaystyle{ W=\left\{ \left( 2x-y,y+z\right) \in R ^{2}: \ z,y,z \in R \right\}, V \in R ^{2}}\)

Wymyśliłem takie coś, ale nie jestem tego pewien...

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \vec{\omega _{1}} = \left( 2x_{1}-y_{1},y_{1}+z_{1}\right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{\omega _{2}}= \left( 2x_{2}-y_{2},y_{2}+z_{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1}\vec{\omega _{1}} + \alpha _{2}\vec{\omega _{2}}=W}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1}\vec{\omega _{1}} + \alpha _{2}\vec{\omega _{2}}=
\alpha _{1}\left( 2x_{1}-y_{1},y_{1}+z_{1}\right)+\alpha _{2}\left( 2x_{2}-y_{2},y_{2}+z_{2}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left( \alpha _{1}2x_{1}-\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}2x_{2}-\alpha _{2}y_{2},\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{1}z_{1}+\alpha _{2}y_{2}+\alpha _{2}z_{2}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right) \cdot\left( 2x_{1}+2x_{2}-y_{1}-y_{2},y_{1}+y_{2}+z_{1}+z_{2}\right)=}\)

[octahedron]

Na moje oko dobrze.

[MichalPWr]

Dzięki -- 3 maja 2012, o 16:25 --Mam jeszcze jedno zadanie do sprawdzenia/poprawienia. Polecenie to samo:

\(\displaystyle{ W=\left\{ \left( x,y,z,t\right) \in R ^{4}: \ x-y=z-t \right\}, V \in R ^{4}}\)

Moje rozwiązanie:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x-y=z-t \Rightarrow x=y+z-t}\)

\(\displaystyle{ \vec{\omega_{1}}=\left( y _{1} +z_{1}-t_{1},\ y_{1},\ z_{1},\ t_{1} \right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{\omega_{2}}=\left( y _{2} +z_{2}-t_{2},\ y_{2},\ z_{2},\ t_{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1} \vec{\omega_{2}}+\alpha _{1}\vec{\omega_{2}}=W}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1} \vec{\omega_{2}}+\alpha _{1}\vec{\omega_{2}}=\alpha _{1}\left( y _{1} +z_{1}-t_{1},\ y_{1},\ z_{1},\ t_{1} \right) +\alpha _{2} \left( y _{2} +z_{2}-t_{2},\ y_{2},\ z_{2},\ t_{2} \right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left(\alpha _{1}y _{1} +\alpha _{1}z_{1}-\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}y _{2} +\alpha _{2}z_{2}-\alpha _{2}t_{2}\ ,\ \alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{2}\ ,\ \alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}t_{2}\ ,\ \alpha _{1}z_{1}+\alpha _{2}z_{2}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left(\alpha _{1}+\alpha _{2} \right) \cdot \left(y _{1} +y _{2}+z_{1}+z_{2}-t_{1} -t_{2}\ ,\ y_{1}+y_{2}\ ,\ t_{1}+t_{2}\ ,\ z_{1}+z_{2}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left(\alpha _{1}+\alpha _{2} \right) \cdot\left( x,y,z,t\right)}\)

[octahedron]

Też chyba jest dobrze. Dlaczego masz wątpliwości?

[MichalPWr]

Ponieważ jest to dla mnie nowy temat i niezbyt pewnie się w nim czuję. Do przykładów które znalazłem w necie, skryptach nie ma rozwiązań, a głupio robić zadania i nie wiedzieć czy są dobrze

[wpzd]

Mam pytanie a propos rozwiązania pierwszego przykładu zamieszczonego w tym wątku:
Końcowy wynik rozwiązania to:
\(\displaystyle{ \left( \alpha _{1}+\alpha _{2}\right) \cdot\left( 2x_{1}+2x_{2}-y_{1}-y_{2},y_{1}+y_{2}+z_{1}+z_{2}\right)}\)
W jaki sposób linijka ta dowodzi, że zbiór jest podprzestrzenią? Po czym to poznajemy? Co by się stało gdyby taki zbiór podprzestrzenią nie był?

[Dasio11]

Ta linijka tego nie dowodzi, a rozwiązanie jest niekompletne. Powinno być:

\(\displaystyle{ $\begin{align*}
& = \big( \alpha_1 2 x_1 - \alpha_1 y_1 + \alpha_2 2 x_2 - \alpha_2 y_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_1 z_1 +\alpha_2 y_2 + \alpha_2 z_2 \big) \\
& = \big( 2 (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) - (\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2), (\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2) + (\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2) \big) \\
& = \big( 2x' - y', y' + z' \big)
\end{align*}$}\)

gdzie \(\displaystyle{ x' = \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, y' = \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2, z' = \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2.}\) Powyższy wektor jest więc odpowiedniej postaci, zatem należy do \(\displaystyle{ W}\).

Inna sprawa, że łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ W = \mathbb{R}^2}\), a wiemy, że jest to podprzestrzeń (niewłaściwa) \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).

A jeszcze łatwiej zauważyć, że \(\displaystyle{ W}\) jest obrazem pewnej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ U}\) przez pewne odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \varphi : U \to V}\), więc automatycznie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).