Wyznacznik Vandermonde'a

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
olo150892
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 sty 2012, o 09:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-tyn
Podziękował: 2 razy

Wyznacznik Vandermonde'a

Post autor: olo150892 »

Mam do rozwiązania następujące zadanie i nie wiem jak się do niego zabrać i prosiłbym o jakieś małe wskazówki. Za jakąkolwiek pomoc z góry dziękuję Otóż

Niech \(\displaystyle{ n \ge 2}\) będzie liczbą naturalną i niech \(\displaystyle{ z_{1} ,..., z_{n}}\) będą liczbami zespolonymi. Wykaż, że:


\(\displaystyle{ V( z_{1} ,..., z_{n} ):=det \left[\begin{array}{cccc}1&z_{1}&...&z_{1} ^{n-1} \\1& z_{2}&...& z_{2}^{n-1}\\...&...&...&...\\1&z_{n}&...& z_{n}^{n-1}\end{array}\right] = \prod_{1 \le k<l \le n} ( z_{l} - z_{k} )}\)
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2012, o 15:14 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wyznacznik Vandermonde'a

Post autor: lukasz1804 »

Zastosuj indukcję względem \(\displaystyle{ n}\).

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) wzór jest oczywisty.
W dowodzeniu tezy indukcyjnej wykorzystaj elementarne przekształcenia wyznacznika (i oczywiście założenie indukcyjne). Dokładniej, odejmij od ostatniej kolumny kolumnę przedostatnią pomnożoną przez \(\displaystyle{ z_1}\), następnie odejmij od przedostatniej kolumny kolumnę na lewo od niej pomnożoną przez \(\displaystyle{ z_1}\) itd. (zakończ procedurę odejmując drugą kolumnę od pierwszej pomnożonej przez \(\displaystyle{ z_1}\)). Rozwiń otrzymany wyznacznik względem pierwszego wiersza, wyciągając jednak wpierw przed tenże wyznacznik czynniki \(\displaystyle{ z_{j+1}-z_1}\) z każdego wiersza. Pozostały wyznacznik będzie zawierał resztę czynników, na mocy założenia indukcyjnego.
ucwmiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 2 lut 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

Wyznacznik Vandermonde'a

Post autor: ucwmiu »

Można prościej Zauważ, że masz wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia \(\displaystyle{ n-1}\). Teraz tak: dowolny wyraz będzie iloczynem potęg \(\displaystyle{ z_{1},,,z_{n}}\), oczywiście w dowolnym wyrazie nie ma dwóch różnych zmiennych w tej samej potędze (definicja wyznacznika), oraz suma tych potęg jest równa \(\displaystyle{ 1+2+...+(n-1)}\).

I trzask prask masz pan zadanie z kombinatoryki
ODPOWIEDZ