podprzestrzen liniowa

[luna]

Dany jest zbiór X={x \(\displaystyle{ \in R^{4}}\) : x =[a+b ap -3b \(\displaystyle{ p^{2}}\)-4], \(\displaystyle{ a, b R}\) } Czy istnieje \(\displaystyle{ p\in \{0,2,3\}}\) takie, ze zbiór X jest podprzestrzenia liniowa? Odpowiedz uzasadnij. Jezeli tak, wyznacz jego przykladowa baze i wymiar. Oprócz tego, podaj jedena baze tej podprzestrzeni skladajaca sie z wektrow o dlugosci 1. Czy jest to baza ortonormalna? Odp uzasadnij. czy ktos moglby mi pomoc z tym zadaniem? Bardzo prosze!

[kuch2r]

Niech \(\displaystyle{ p=0}\)
Stad nasz zbior \(\displaystyle{ X_0=\{x\in R^4: x=[a+b,0,-3b,-4]\}}\)
Wezmy dowolne dwa wektory \(\displaystyle{ u,v}\) takie, ze \(\displaystyle{ u,v\in X_0}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ u=[a_1+b_1,0,-3b_1,-4]\\v=[a_2+b_2,0,-3b_2,-4]}\)
Rozpatrzmy sume:
\(\displaystyle{ u+v=[a_1+b_1+a_2+b_2,0,-3(b_1+b_2),-8]\not\in X_0}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ p=0}\) zbior \(\displaystyle{ X_0}\) mnie jest podprzestrzenia liniowa.
Analogiczny dla \(\displaystyle{ p=3}\)
Dla \(\displaystyle{ p=2}\)
Nasz zbior przyjmuje postac:
\(\displaystyle{ X_2=\{x\in R^4: x=[a+b,2a,-3b,0]\}}\)
Latwo wykazac, ze warunki na podprzestrzen liniowa sa spelnione. Zatem dla \(\displaystyle{ p=2}\) zbior \(\displaystyle{ X_2}\) jest podprzestrzenia liniowa.
Zauwazmy, ze nasza poprzestrzen liniowa sklada sie z wektorow postaci:
\(\displaystyle{ [a+b,2a,-3b,0]=a[1,2,0,0]+b[1,0,-3,0]}\)
Wektory \(\displaystyle{ [1,2,0,0],[1,0,-3,0]}\) sa liniowo niezalezne, zatem stanowia one baze.
Wymiar bazy wynosi 2.
Baza skladajaca sie z wektorow o dlugosci 1:
Przyklad:
\(\displaystyle{ [\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},0,0],[\frac{1}{\sqrt{10}},0,-\frac{3}{\sqrt{10}},0]}\)

[Ulcia]

a moglbys rozpisac, jak obliczyles te wektory o dlugosci 1?

[kuch2r]

obliczylem dlugosc wektora, a nastepnie podzielilem wektor przez jego dlugosc