Jądro i obraz przekształcenia liniowego [R3-->R3]

[Nemeczek]

Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: R^{3} \Rightarrow R^{3}}\) gdzie:
\(\displaystyle{ T(1,2,3)=(0,1,2)}\)
\(\displaystyle{ T(2,1,0)=(3,2,1)}\)
\(\displaystyle{ T(1,-1,2)=(1,1,1)}\)
Wyznaczyć KerT i ImT.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ \{x_1,x_2,x_3 \}}\) standardowa baza w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Wtedy
\(\displaystyle{ Tx_1+2Tx_2+3Tx_3=x_2+2x_3\\
2Tx_1+Tx_2=3x_1+2x_2+x_1\\
Tx_1-Tx_2+2Tx_3=x_1+x_2+x_3}\)
skąd znajdziemy \(\displaystyle{ Tx_1,Tx_2,Tx_3}\) a więc ogólnie \(\displaystyle{ T(x,y,z)}\). Jądrem jest przestrzeń rozpięta na wektorach, które są rozwiązaniem \(\displaystyle{ T(x,y,z)=0}\).

[Nemeczek]

Hmmm tylko ten układ mam zapisać za pomocą macierzy rozszerzonej?
W sensie 1 2 3 | 0 1 2? I doprowadzić to postaci schodkowej? Jeśli znam wzór przekształcenia to potrafię jądro i obraz wyznaczyć.

[tometomek91]

Tak, można doprowadzic do postaci schodkowej.

[Nemeczek]

\(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}
ight|egin{array}{ccc} frac{2}{3} &1& frac{2}{5}\ frac{-1}{3}&0& frac{1}{5} \0&0&5end{array}
ight}\)

Otrzymałem taką macierz i nie wiem jak właśnie z niej wyznaczyć wzór przekształcenia :X

(załóżmy że jakimiś tam ruskimi sposobami wyznaczyłem:
\(\displaystyle{ x=\frac{9}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=5}\)

[tometomek91]

Nie wiem skąd to się wzięło, trzeba po prostu rozwiązać podany w pierwszym moim poście układ równań ze względu na niewiadome \(\displaystyle{ Tx_1,Tx_2}\) i \(\displaystyle{ Tx_3}\).

[Nemeczek]

Dzięki za pomoc.