Witam. Mam takie zadanie:
Dla przekształcenia liniowego L: R^3 --> R^3 L(x,y,z) = (x+2z, -x+y+z, y+3z) wyznaczyć:
a) ker L, im L i wyznaczyć ich wymiary;
b) macierz odwzorowania L gdy w R^3 mamy bazę { e1 = (1,1,1), e2 = (1,1,0), e3 = (1,0,0) }.
Czy mogłby mi ktoś pomóc to rozwiązać, bo nie wiem bardzo jak się za to zabrać.
Jądro, obraz, macierz odwzorowania.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11265
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Jądro, obraz, macierz odwzorowania.
ad1 jadro T to ogol takich u=(x,y,z), ze T(u)=0 tj :
x+2z=0
-x+y+z=0
y+3z=0
tj
y=-3z, x=-2z
jadro jest przestrzenia wymiaru 1: \(\displaystyle{ ker T=\{ t(-2,-3,1) , \ t R \}}\) stad wynika ze wymiar obrazu wynosi 2
x+2z=0
-x+y+z=0
y+3z=0
tj
y=-3z, x=-2z
jadro jest przestrzenia wymiaru 1: \(\displaystyle{ ker T=\{ t(-2,-3,1) , \ t R \}}\) stad wynika ze wymiar obrazu wynosi 2
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Jądro, obraz, macierz odwzorowania.
Ad b)
Macierz \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) odwzorowania \(\displaystyle{ \mathfrak{l}}\) w bazie kanonicznej jest nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ \mathfrak{M}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\-1&1&1\\0&1&3\end{array}\right]}\)
Nastepnie utworzmy macierz przejscia z bazy kanonicznej do naszej wyjsciowej bazy.
Oznaczmy sobie, przez:
\(\displaystyle{ k_1=(1,0,0)\\k_2=(0,1,0)\\k_3=(0,0,1)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ e_1=k_1+k_2+k_3\\e_2=k_1+k_2\\e_3=k1}\)
Stad, macierz\(\displaystyle{ \mathfrak{B}}\) przejscia z bazy kanonicznej do naszej bazy wyjsciowej jest postaci:
\(\displaystyle{ \mathfrak{B}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)
Zeby wyznaczyc macierz \(\displaystyle{ \mathftak{A}}\)odwzorowania \(\displaystyle{ \mathfrak{l}}\),nalezy obliczyc:
\(\displaystyle{ \mathfrak{A}=\mathfrak{B}^{-1}\cdot \mathfrak{M} \mathfrak{B}}\)
Otrzymana w ten sposob macierz, bedzie macierza odwzorowania w zadanej bazie.
Macierz \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) odwzorowania \(\displaystyle{ \mathfrak{l}}\) w bazie kanonicznej jest nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ \mathfrak{M}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\-1&1&1\\0&1&3\end{array}\right]}\)
Nastepnie utworzmy macierz przejscia z bazy kanonicznej do naszej wyjsciowej bazy.
Oznaczmy sobie, przez:
\(\displaystyle{ k_1=(1,0,0)\\k_2=(0,1,0)\\k_3=(0,0,1)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ e_1=k_1+k_2+k_3\\e_2=k_1+k_2\\e_3=k1}\)
Stad, macierz\(\displaystyle{ \mathfrak{B}}\) przejscia z bazy kanonicznej do naszej bazy wyjsciowej jest postaci:
\(\displaystyle{ \mathfrak{B}=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)
Zeby wyznaczyc macierz \(\displaystyle{ \mathftak{A}}\)odwzorowania \(\displaystyle{ \mathfrak{l}}\),nalezy obliczyc:
\(\displaystyle{ \mathfrak{A}=\mathfrak{B}^{-1}\cdot \mathfrak{M} \mathfrak{B}}\)
Otrzymana w ten sposob macierz, bedzie macierza odwzorowania w zadanej bazie.