Macierz zmiany bazy starej na nową

[Nesa]

Witam,

Mam do zrobienia takie o to zadanie:
Wyznacz macierz zmiany bazy gdy baza pierwsza jest [4,0,1] [1,0,4] [0,1,0]
a druga [3,0,-1] [-1,0,3] [0,1,0]

Zabrałem się za to zadanie i nie wiem czy dobrze je zrobiłem, proszę o sprawdzenie.

Baza S. [4,0,1] [1,0,4] [0,1,0]
Baza N. [3,0,-1] [-1,0,3] [0,1,0]

Baza 1: = [3,0,-1] = 4x+z, x+ 4z, y

Czyli:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4x+z=3\\x+ 4z=0\\y=-1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{4}{5}\\z= -\frac{1}{5}\\y=-1\end{array}}\)

Baza 2: = [-1,0,3] = 4x+z, x+ 4z, y

Czyli:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4x+z=-1\\x+ 4z=0\\y=3\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= -\frac{4}{15}\\z= \frac{1}{15}\\y=3\end{array}}\)


Baza 3: = [0,1,0] = 4x+z, x+ 4z, y

Czyli:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4x+z=0\\x+ 4z=1\\y=0\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= -\frac{1}{15}\\z= \frac{4}{15}\\y=0\end{array}}\)

I wyszła mi taka Macierz, i nie wiem czy to koniec zadania:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} \frac{4}{5}&-\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\\-1&3&0\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\end{vmatrix}}\)

Proszę O pomoc , Pozdrawiam

[marines27]

Wektory zapisujesz poziomo czy pionowo?

[Nesa]

Wektory zapisujesz poziomo czy pionowo?

Jasne ze Poziomo

[marines27]

Według mnie źle. Zaczekaj sprawdzę dokładnie.-- 22 kwi 2012, o 20:44 --Już znalazłem błąd.

[Nesa]

Według mnie źle. Zaczekaj sprawdzę dokładnie.

-- 22 kwi 2012, o 20:44 --

Już znalazłem błąd.

Więc podziel się nim

[marines27]

Macierz przejścia ze starej bazy na nową: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{13}{15} & -\frac{7}{15} &0\\- \frac{7}{15} &\frac{13}{15} &0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

[Nesa]

Hmm możesz podpowiedzieć jak to zrobiłeś ?

[marines27]

Powiem Ci tak intuicyjnie: Przy zadaniu tego typu tzn. mamy starą bazę i nową bazę- musimy wyznaczyć macierz przejścia. A więc macierz starej bazy mnożymy przez jakąś macierz tego samego wymiaru i chcemy otrzymać nową bazę. Teraz jasne? Czy wytłumaczyć dokładniej

-- 22 kwi 2012, o 20:52 --

Pokażę Ci jak to wygląda macierzowo. Zakładam, że umiesz mnożyć dwie macierze. Zgadza się??-- 22 kwi 2012, o 20:57 --\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&1&0\\0&0&1\\1&4&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} \frac{13}{15} & -\frac{7}{15} &0\\- \frac{7}{15} &\frac{13}{15} &0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&0\\0&0&1\\-1&3&0\end{array}\right]}\)

Rozumiesz?

[Nesa]

Hmm kolego popełniłeś błąd ze starą macierzą a mianowicie transponowałeś ją a powinna być najpierw policzona macierz dopełnień a potem ją transponować. Zaraz napisze w latex

Z twoich informacji pisemnych powinna ona wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 4&0&1\\1&0&4\\0&1&0\end{vmatrix} ^{-1}}\) * X = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 3&0&-1\\-1&0&3\\0&1&0\end{vmatrix}}\)


\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 4&0&1\\1&0&4\\0&1&0\end{vmatrix} ^{-1}}\) = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -4&0&1\\1&0&-4\\0&-15&0\end{vmatrix} ^{D}}\) = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -4&1&0\\0&0&-15\\1&-4&0\end{vmatrix} ^{T}}\)

Czyli :


X = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -4&1&0\\0&0&-15\\1&-4&0\end{vmatrix} ^{T}}\) * \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 3&0&-1\\-1&0&3\\0&1&0\end{vmatrix}}\)