forma kwadratowa a macierz

[kaziolo]

Zad.
Dana jest forma kwadratowa \(\displaystyle{ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}-3x_{2}x_{3}}\)
Sprowadzić formę f do postaci kanonicznej.
Podać bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\), w której forma f ma postać kanoniczną.

Postać kanoniczną obliczyłam.
\(\displaystyle{ f(y_{1},y_{2},y_{3})= \frac{1}{2}y_{1}^{2}- \frac{2}{3}y_{2}^{2}+ \frac{6}{7}y_{3}^{2}}\)
Jak zapisać to w macierz? Proszę o podpowiedź. Z góry dziękuje

[Mistrz]

Macierz \(\displaystyle{ f}\) w tej bazie, w której ma ona taką postać kanoniczną, jak wypisałaś, to po prostu \(\displaystyle{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{6}{7} \end{array}}\).

[kaziolo]

Robiliśmy na ćwiczeniach inny przykład. Postać kanoniczna równa się: \(\displaystyle{ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+ \frac{19}{8}y_{3}^{2}}\)natomiast macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-\frac{3}{4}&2\\\ 1& -\frac{1}{4}&0\\\ 0&1&0 \end{bmatrix}}\)

Dlaczego?-- 21 kwi 2012, o 23:13 --Może inaczej, mając postać kanoniczną formy co powinnam dalej zrobić? Chciałam to zapisać w macierzy i obliczyć macierz odwrotną. Dobrze?

[Mistrz]

Nie wierzę w taką macierz, jaką podałaś. Macierze form kwadratowych są zawsze symetryczne.