Wektory własne macierzy + zespolone

[Nesa]

Witam,

Mam problem tym zadaniem.

Wyznacz wszystkie ( rzeczywiste i zespolone ) wektory własne macierzy.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0 & 0& 0 &0 &-1 \\
0 &1 &0& 1 &0 \\
0 &0& 1& 0 & 0 \\
0 &0& 0 &0 & 0\\
1& 0 &0& 0 & 0
\end{bmatrix}}\)

Prosze o Pomoc.

[miodzio1988]

Problem jet jaki? Odejmij niewiadomą \(\displaystyle{ a}\) od przekątnej i policz wyznacznik

[Ein]

Tutaj nie potrzeba liczyć wyznacznika. Wystarczy się przypatrzyć, co operator wyznaczony przez tę macierz robi z przestrzenią.

Na pewno wartością własną jest \(\displaystyle{ 0}\), bo macierz ma rząd mniejszy od wymiaru (ponieważ 4 wiersz jest zerowy).

Dalej widać, że drugi i trzeci wektor bazowy są nieruszane, czyli \(\displaystyle{ 1}\) jest podwójną wartością własną.

Pierwszy i piąty wektor bazowy rozpinają podprzestrzeń, którą operator obraca o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), czyli wartości własne to \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).

Otrzymaliśmy pięć wartości własnych czyli maksymalną możliwą liczbę.

Pozostaje wyznaczyć wektory własne, co zresztą wobec tego, co powiedziałem, sprowadza się do wyznaczenia dowolnego niezerowego wektora z jądra oraz dwóch wektorów własnych macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right]}\) (która właśnie ma wartości własne równe \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ -i}\)).

[Nesa]

Witam,

Obliczyłem wyznacznik i wynosi on W=0

Problem jet jaki? Odejmij niewiadomą \(\displaystyle{ a}\) od przekątnej i policz wyznacznik

Wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0&0&0&0&-1\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{vmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0- \alpha &0&0&0&-1\\0&1- \alpha &0&1&0\\0&0&1- \alpha &0&0\\0&0&0&0- \alpha &0\\1&0&0&0&0- \alpha \end{vmatrix}}\)
z tąd wychodzi jeden pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ \left( 1- \alpha ^{2} \right) = \alpha =1}\)

Dalsze moje obliczenia to:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -1&0&0&0&-1\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0\\1&0&0&0&-1\end{vmatrix}}\) * \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} x\\y\\z\\t\\u\end{vmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -x-u\\t\\0\\-t\\x-u\end{vmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0\\0\\0\\0\\0\end{vmatrix}}\)

Zatem mam 2 równania niezależne.


\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x-u=0\\x-u=0\end{array}}\) = \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-u\\x=u\end{array}}\)

I teraz nie wiem jak dalej to rozwiązać , Proszę o Pomoc.