macierz odbicia względem płaszczyzny
macierz odbicia względem płaszczyzny
Muszę znaleźć macierz odbicia względem płaszczyzny \(\displaystyle{ x + z = 0}\) w \(\displaystyle{ \mathds{R}^3}\). Jak ona wygląda? I jak w ogólnym przypadku szukać takich macierzy?
-
Ein
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
macierz odbicia względem płaszczyzny
Wektory \(\displaystyle{ (-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1)}\) są liniowo niezależne, więc tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Macierz tego odbicia w tej bazie ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\)
Wektory \(\displaystyle{ (-1,0,1)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) zawierają się w płaszczyźnie \(\displaystyle{ x+z=0}\), więc ich nie ruszamy, stąd mamy w pierwszej i drugiej kolumnie \(\displaystyle{ 1}\). Wektor \(\displaystyle{ (1,0,1)}\) jest zaś prostopadły do tej płaszczyzny, więc odbijamy go względem tej płaszczyzny -- stąd w macierzy mamy \(\displaystyle{ -1}\) w trzeciej kolumnie, która odpowiada właśnie temu wektorowi bazowemu.
Jak chcesz dostać macierz w standardowej bazie, to musisz ją przemnożyć przez macierze zmiany bazy.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\)
Wektory \(\displaystyle{ (-1,0,1)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) zawierają się w płaszczyźnie \(\displaystyle{ x+z=0}\), więc ich nie ruszamy, stąd mamy w pierwszej i drugiej kolumnie \(\displaystyle{ 1}\). Wektor \(\displaystyle{ (1,0,1)}\) jest zaś prostopadły do tej płaszczyzny, więc odbijamy go względem tej płaszczyzny -- stąd w macierzy mamy \(\displaystyle{ -1}\) w trzeciej kolumnie, która odpowiada właśnie temu wektorowi bazowemu.
Jak chcesz dostać macierz w standardowej bazie, to musisz ją przemnożyć przez macierze zmiany bazy.