rozwinięcie wektora

[michal422]

Niech \(\displaystyle{ e_{1} , e_{2} , e_{3}}\) będą bazą przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \textbf{E}}\) .
Przedstawić rozwinięcie wektora \(\displaystyle{ xe_{1} + ye_{2} + ze_{3}}\) w bazie \(\displaystyle{ e_{1} , e_{1} + e_{2} , e_{1} + e_{2} + e_{3}}\).

Proszę o pomoc.

[Marmat]

Niech \(\displaystyle{ w=xe_1+ye_2+ze_3}\)
\(\displaystyle{ w= \alpha e_1+ \beta (e_1+e_2)+\gamma(e_1+e_2+e_3)}\)
Trzeba wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ \alpha \, \beta i \gamma}\)
\(\displaystyle{ x=xe_1+ye_2+ze_3=(\alpha+\beta+\gamma)e_1+(\beta + \gamma)e_2+ \gamma e_3}\)
Porównując współczynniki otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma =x \\
\beta + \gamma = y\\
\gamma = z}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \alpha = x-y \\
\beta = y-z \\
\gamma =z \\
w= (x-y)e_1+(y-z)(e_1+e_2)+z(e_1+e_2+e_3)}\)
Pozdrawiam.