6 równań i sześć niewiadomych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Jedwabisty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 6 gru 2010, o 17:47
Płeć: Mężczyzna

6 równań i sześć niewiadomych

Post autor: Jedwabisty »

Dany jest układ równań o niewiadomych x.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=x_1+x_2+x_3 \\
b=x_2+x_3+x_4 \\
c=x_3+x_4+x_5 \\
d=x_4+x_5+x_6 \\
e=x_5+x_6+x_1 \\
f=x_1+x_2+x_6 \\ \end{cases}}\)

Na podstawie liczb: a, b, c, d, e, f znajdź wartość \(\displaystyle{ x_1+x_2}\).
Czy to jest w ogóle rozwiązywalne?
sieniaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów
Pomógł: 15 razy

6 równań i sześć niewiadomych

Post autor: sieniaf »

Jeśli przyjąć, że \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) to parametry to układ wygląda na oznaczony tj. 6 zmiennych i 6 równań. Pewnie jest jakiś trick z wykorzystywaniem dodawania/odejmowania układów stronami, gdzie wszystkie niewiadome prócz \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) się skrócą. Jednak nie znalazłem go, dlatego użyłem zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ u=x_{1}+x_{2}}\) i rozwiązywałem metodą podstawieniową, wybierając zawsze ten układ gdzie prócz \(\displaystyle{ u,x_{1},x_{2}}\) i parametrów była jeszcze tylko jedna niewiadoma. Czasochłonne, ale wynik wychodzi poprawny:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=b+e+0,5f-0,5a-0,5c-0,5d}\)

---
edit:
choć w sumie, chyba nie ma takiego tricku, bo wynikałby wprost z odpowiedzi. Jednak wciąż wynik wygląda bardzo regularnie, ktoś z forum pokusi się o rozwiązanie przypadku ogólnego z n zmiennymi i n parametrami?
Jedwabisty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 6 gru 2010, o 17:47
Płeć: Mężczyzna

6 równań i sześć niewiadomych

Post autor: Jedwabisty »

Dzięki! W taki sposób próbowałem rozwiązać zadanie 5 (zadania ) na konkursie PW który odbył się w tą sobotę w Warszawie. Skorzystałem z twierdzenia Cevy i wyznaczyłem trzeci stosunek boków. Potem oznaczając pola tych małych trójkątów przez x1, x2,...x6 ,które składały się na cały trójkąt o polu S, otrzymałem powyższy układ równań, niestety z powodu braku czasu nie skończyłem tego zadania. Jeszcze raz dzięki za rozwiązanie!

edit: no jednak nie dzięki. po podstawieniu twojego wzorku wychodzi, że \(\displaystyle{ x_1+x_2=x_1+x_2+x_6}\). Jak sam próbowałem to dochodziłem tylko do trzech zmiennych, dalsze przekształcenia prowadziły do tożsamości.
sieniaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów
Pomógł: 15 razy

6 równań i sześć niewiadomych

Post autor: sieniaf »

Masz rację, mój błąd. Poczytałem dzisiaj trochę o układach równań, specjalnie, żeby to rozwiązać.

Układ jest nieoznaczony lub sprzeczny, kiedy jego wyznacznik główny jest równy 0.
O ile rozwiązanie wyznacznika 2 x 2 jest trywialne, 3 x 3 stosunkowo proste jak się pamięta tę mnemotechnikę 'po przekątnych' to dla wyższych wymiarów jest już naprawdę trudne, przynajmniej jak na mój poziom, ale jeśli czujesz się na siłach to: sekcja n-by-n matrices. Ja się nie czułem i wrzuciłem wyznacznik tego układu do wolframu i okazało się, że jest równy 0, więc ten układ jest albo sprzeczny albo nieoznaczony.

Jeśli chcesz się samemu przekonać to wklej to:

Kod: Zaznacz cały

det({{1, 1, 1, 0, 0, 0}, {0, 1, 1, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 1, 1, 0}, {0, 0, 0, 1, 1, 1}, {1, 0, 0, 0, 1, 1}, {1, 1, 0, 0, 0, 1}}})
do
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

6 równań i sześć niewiadomych

Post autor: Mariusz M »

sieniaf, no tak dalej to rozwinięcie Laplace lub
sumowanie iloczynów po wszystkich permutacjach zajmuje sporo czasu
ponieważ ma złożoność silni
Jeżeli można dzielić to lepsza jest eliminacja Gaussa lub jakieś rozkłady macierzy
(Metody te mają złożoność n^3)

Układy takie można rozwiązywać w ten sposób

1. Liczymy rzędy macierzy aby sprawdzić ilość rozwiązań (Twierdzenie Kroneckera Capellego)
2. Sprowadzamy układ do postaci Cramera
(wybieramy podmacierz kwadratową o stopniu równym rzędom macierzy głównej i rozszerzonej,
nadmiarowe równania skreślamy a nadmiarowe niewiadome przenosimy do wektora wyrazów wolnych traktując jako parametry)
3. Rozwiązujemy układ Cramera znanymi sposobami
marines27
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 27 lis 2011, o 13:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 11 razy

6 równań i sześć niewiadomych

Post autor: marines27 »

Według mnie Gaussem będzie najszybciej bo dużo zer będzie;)
ODPOWIEDZ