Dany jest układ równań o niewiadomych x.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=x_1+x_2+x_3 \\
b=x_2+x_3+x_4 \\
c=x_3+x_4+x_5 \\
d=x_4+x_5+x_6 \\
e=x_5+x_6+x_1 \\
f=x_1+x_2+x_6 \\ \end{cases}}\)
Na podstawie liczb: a, b, c, d, e, f znajdź wartość \(\displaystyle{ x_1+x_2}\).
Czy to jest w ogóle rozwiązywalne?
6 równań i sześć niewiadomych
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 6 gru 2010, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów
- Pomógł: 15 razy
6 równań i sześć niewiadomych
Jeśli przyjąć, że \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) to parametry to układ wygląda na oznaczony tj. 6 zmiennych i 6 równań. Pewnie jest jakiś trick z wykorzystywaniem dodawania/odejmowania układów stronami, gdzie wszystkie niewiadome prócz \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) się skrócą. Jednak nie znalazłem go, dlatego użyłem zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ u=x_{1}+x_{2}}\) i rozwiązywałem metodą podstawieniową, wybierając zawsze ten układ gdzie prócz \(\displaystyle{ u,x_{1},x_{2}}\) i parametrów była jeszcze tylko jedna niewiadoma. Czasochłonne, ale wynik wychodzi poprawny:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=b+e+0,5f-0,5a-0,5c-0,5d}\)
---
edit:
choć w sumie, chyba nie ma takiego tricku, bo wynikałby wprost z odpowiedzi. Jednak wciąż wynik wygląda bardzo regularnie, ktoś z forum pokusi się o rozwiązanie przypadku ogólnego z n zmiennymi i n parametrami?
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=b+e+0,5f-0,5a-0,5c-0,5d}\)
---
edit:
choć w sumie, chyba nie ma takiego tricku, bo wynikałby wprost z odpowiedzi. Jednak wciąż wynik wygląda bardzo regularnie, ktoś z forum pokusi się o rozwiązanie przypadku ogólnego z n zmiennymi i n parametrami?
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 6 gru 2010, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
6 równań i sześć niewiadomych
Dzięki! W taki sposób próbowałem rozwiązać zadanie 5 (zadania ) na konkursie PW który odbył się w tą sobotę w Warszawie. Skorzystałem z twierdzenia Cevy i wyznaczyłem trzeci stosunek boków. Potem oznaczając pola tych małych trójkątów przez x1, x2,...x6 ,które składały się na cały trójkąt o polu S, otrzymałem powyższy układ równań, niestety z powodu braku czasu nie skończyłem tego zadania. Jeszcze raz dzięki za rozwiązanie!
edit: no jednak nie dzięki. po podstawieniu twojego wzorku wychodzi, że \(\displaystyle{ x_1+x_2=x_1+x_2+x_6}\). Jak sam próbowałem to dochodziłem tylko do trzech zmiennych, dalsze przekształcenia prowadziły do tożsamości.
edit: no jednak nie dzięki. po podstawieniu twojego wzorku wychodzi, że \(\displaystyle{ x_1+x_2=x_1+x_2+x_6}\). Jak sam próbowałem to dochodziłem tylko do trzech zmiennych, dalsze przekształcenia prowadziły do tożsamości.
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów
- Pomógł: 15 razy
6 równań i sześć niewiadomych
Masz rację, mój błąd. Poczytałem dzisiaj trochę o układach równań, specjalnie, żeby to rozwiązać.
Układ jest nieoznaczony lub sprzeczny, kiedy jego wyznacznik główny jest równy 0.
O ile rozwiązanie wyznacznika 2 x 2 jest trywialne, 3 x 3 stosunkowo proste jak się pamięta tę mnemotechnikę 'po przekątnych' to dla wyższych wymiarów jest już naprawdę trudne, przynajmniej jak na mój poziom, ale jeśli czujesz się na siłach to: sekcja n-by-n matrices. Ja się nie czułem i wrzuciłem wyznacznik tego układu do wolframu i okazało się, że jest równy 0, więc ten układ jest albo sprzeczny albo nieoznaczony.
Jeśli chcesz się samemu przekonać to wklej to:
do
Układ jest nieoznaczony lub sprzeczny, kiedy jego wyznacznik główny jest równy 0.
O ile rozwiązanie wyznacznika 2 x 2 jest trywialne, 3 x 3 stosunkowo proste jak się pamięta tę mnemotechnikę 'po przekątnych' to dla wyższych wymiarów jest już naprawdę trudne, przynajmniej jak na mój poziom, ale jeśli czujesz się na siłach to: sekcja n-by-n matrices. Ja się nie czułem i wrzuciłem wyznacznik tego układu do wolframu i okazało się, że jest równy 0, więc ten układ jest albo sprzeczny albo nieoznaczony.
Jeśli chcesz się samemu przekonać to wklej to:
Kod: Zaznacz cały
det({{1, 1, 1, 0, 0, 0}, {0, 1, 1, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 1, 1, 0}, {0, 0, 0, 1, 1, 1}, {1, 0, 0, 0, 1, 1}, {1, 1, 0, 0, 0, 1}}})
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
6 równań i sześć niewiadomych
sieniaf, no tak dalej to rozwinięcie Laplace lub
sumowanie iloczynów po wszystkich permutacjach zajmuje sporo czasu
ponieważ ma złożoność silni
Jeżeli można dzielić to lepsza jest eliminacja Gaussa lub jakieś rozkłady macierzy
(Metody te mają złożoność n^3)
Układy takie można rozwiązywać w ten sposób
1. Liczymy rzędy macierzy aby sprawdzić ilość rozwiązań (Twierdzenie Kroneckera Capellego)
2. Sprowadzamy układ do postaci Cramera
(wybieramy podmacierz kwadratową o stopniu równym rzędom macierzy głównej i rozszerzonej,
nadmiarowe równania skreślamy a nadmiarowe niewiadome przenosimy do wektora wyrazów wolnych traktując jako parametry)
3. Rozwiązujemy układ Cramera znanymi sposobami
sumowanie iloczynów po wszystkich permutacjach zajmuje sporo czasu
ponieważ ma złożoność silni
Jeżeli można dzielić to lepsza jest eliminacja Gaussa lub jakieś rozkłady macierzy
(Metody te mają złożoność n^3)
Układy takie można rozwiązywać w ten sposób
1. Liczymy rzędy macierzy aby sprawdzić ilość rozwiązań (Twierdzenie Kroneckera Capellego)
2. Sprowadzamy układ do postaci Cramera
(wybieramy podmacierz kwadratową o stopniu równym rzędom macierzy głównej i rozszerzonej,
nadmiarowe równania skreślamy a nadmiarowe niewiadome przenosimy do wektora wyrazów wolnych traktując jako parametry)
3. Rozwiązujemy układ Cramera znanymi sposobami