Znaleźć odległość między płaszczyzną a krzywą.

[unforgiven_two]

Wyznacz odległość między krzywą \(\displaystyle{ S=\left\{ \left( r^{2}, r , 4r + 2 \right): r \in \mathbb{R} \right\}}\)
a płaszczyzną zadaną równaniem \(\displaystyle{ 5 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0}\).

[octahedron]

\(\displaystyle{ d(r)=\frac{|5r^2-r+4r+2|}{\sqrt{5^2+1^2+1^2}}=\frac{|5r^2+3r+2|}{3\sqrt{3}}=\frac{5\left|r^2+\frac{3}{5}r+\frac{2}{5}\right|}{3\sqrt{3}}=\frac{5\left|\left(r+\frac{3}{10}\right)^2+\frac{31}{100}\right|}{3\sqrt{3}}\\
d_{min}=\frac{5\cdot\frac{31}{100}}{3\sqrt{3}}=\frac{31\sqrt{3}}{180}\\}\)

[unforgiven_two]

Dziękuję. A skąd to się wzięło?

[octahedron]

To wzór na odległość punktu od płaszczyzny.