Suma prosta

[elpopo]

Mamy daną przestrzeń \(\displaystyle{ V = R ^{ \infty }}\) . Niech\(\displaystyle{ W}\) = {ciągi prawie stale równe 0}\(\displaystyle{ = R _{c} ^{ \infty }}\). Znaleźć taką podprzestrzeń \(\displaystyle{ Z}\), że \(\displaystyle{ V = W \oplus Z}\) (V jest sumą prostą W i Z).
Proszę o pomoc.

[justyskaf]

wydaje mi się że będą to ciągi w których tam gdzie jest 0 ma być coś różnego od 0, a tam gdzie różne od 0 ma być 0 ale nie mam pewności

[Ein]

wydaje mi się że będą to ciągi w których tam gdzie jest 0 ma być coś różnego od 0, a tam gdzie różne od 0 ma być 0 ale nie mam pewności

To w ogóle nie jest podprzestrzeń, bo ciąg zerowy do tego zbioru nie należy.

[Spektralny]

Przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \mathbb{R}^\infty}\) ma bazę Hamela mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (można to uzasadnić zauważając, że zawiera ona jako podprzestrzeń liniową przestrzeń Banacha \(\displaystyle{ c_0}\); nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają bazy Hamela mocy co najmniej \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)).

Przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) ma przeliczalną bazę Hamela złożoną z wektorów postaci

\(\displaystyle{ e_n(k)=\delta_{nk}\;\;\;(n,k\in \mathbb{N})}\),

a więc każde dopełnienie algebraiczne \(\displaystyle{ W}\) ma wymiar \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Pojawia się więc pytanie co rozumiesz przez opis pewnego dopełenia. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie dopełnienia (nawet istnienie nieprzeliczalnie wielu różnych dopełnień), ale nijak nie daje jego opisu.