Macierz przekształcenia liniowego

[jablecznik]

Muszę napisać macierze przekształceń następujących przekształceń liniowych

\(\displaystyle{ L_1: \mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}_2[x], (L_1p)(x)=xp'(-x) \hbox{ dla } p \in \mathbb{R}_2[x]}\)

\(\displaystyle{ L_2: \mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}^2, (L_2p)(x)=(p(1), p'(2)) \hbox{ dla } p \in \mathbb{R}_2[x]}\)

Próbuję coś z tym zrobić, ale mi nie wychodzi.

[octahedron]

\(\displaystyle{ p=ax^2+bx+c\\\\
p'(x)=2ax+b\\\\
xp'(-x)=-2ax^2+bx\\\\
\begin{cases}a\to -2a\\b\to b\\c\to 0\end{cases} \\\\
L_1:\quad \begin{bmatrix}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\\\\
\left( p(1),p'(2)\right)=\left( a+b+c,4a+b\right) \\\\
L_2:\quad \begin{bmatrix}1&1&1\\4&1&0\end{bmatrix}\\\\}\)

[jablecznik]

Ok, widzę, że robiłem dobrze. Dodam, że w przykładzie \(\displaystyle{ L_2}\) powinno być chyba \(\displaystyle{ (p(1),p'(2))=(a+b+c, 4a+b)}\).

Dodatkowo jest jeszcze przykład \(\displaystyle{ L_3: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}_2[x], L_3(a,b)=ax^2+bx+a-b}\).

Wyszła mi z tego macierz: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&-1\end{array}\right]}\)

Ostatnim krokiem zadania jest pomnożenie macierzy \(\displaystyle{ L_2 \cdot L_1 \cdot L_3}\). W odpowiedziach wychodzi im macierz kwadratowa 2 wymiarowa: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-2&1\\-8&1\end{array}\right]}\) Jakim cudem? Mają tam źle?

[octahedron]

A tak, w \(\displaystyle{ L_2}\) zgubiłem to \(\displaystyle{ b}\). Natomiast po wymnożeniu wychodzi taka właśnie macierz. Dlaczego sądzisz, że jest źle?