Określi liczbe rozwiązań układu równań

[manu_utd]

a) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+2z+t=1\\3x+y+z-t=2\\5x-y+5z+t=4 \end{array}\right.}\)

b) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-y=3\\x+y=4\\4x+8y=11\\x+4y=10 \end{array}\right.}\)

c) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-3y+z=-1\\-x+2y+z=0\\2x+3y-z=1 \end{array}\right.}\)

Nie wiem jak mam się za to zabrać.

[scyth]

Badasz rząd macierzy układu równań i rząd macierzy rozszerzonej (twierdzenie Kroneckera-Capellego). Zobacz na podobne tematy, np. viewtopic.php?t=285143

[manu_utd]

c)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&-3&1\\_1&2&1\\2&3&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\8\\11\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ det A = 1 \cdot d_{11}-1 \cdot d_{21}+2 \cdot d_{31}=1 \cdot (-5)+(-1) \cdot 0+2 \cdot (-5)=-15}\)

\(\displaystyle{ D = \begin{bmatrix} -5&3&-7\\0&-3&-7\\-5&-2&-1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ D^{T} = \begin{bmatrix} -5&0&-5\\3&-3&-2\\-7&-9&-1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{-1}{15} \cdot \begin{bmatrix} -5&0&-5\\3&-3&-2\\-7&-9&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{15}&0& \frac{5}{15} \\ \frac{-3}{15}& \frac{3}{15}& \frac{2}{15} \\ \frac{7}{15}& \frac{9}{15}& \frac{1}{15} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{15}&0& \frac{5}{15} \\ \frac{-3}{15}& \frac{3}{15}& \frac{2}{15} \\ \frac{7}{15}& \frac{9}{15}& \frac{1}{15} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\8\\11\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{90}{15} \\ \frac{}{} \frac{25}{15} \\ \frac{132}{15} \end{bmatrix}}\)

Gdzie robię błąd?
Układy równań liniowych 4 niewiadomych robi się tak samo?

-- 13 kwi 2012, o 07:39 --

Sprawdzi ktoś to zadanie. Bo wynik wiem, że się nie zgadza:) Gdzie zrobiłem błąd? Czy tak powinno wyglądać rozwiązanie takiego zadania?

[scyth]

c) Mam trzy równania i trzy niewiadome, więc super. Najpierw liczę wyznacznik macierzy głównej:
\(\displaystyle{ W = \begin{vmatrix} 1&-3&1 \\ -1&2&1 \\ 2&3&-1 \end{vmatrix} = -15}\)
Super, wyznacznik jest niezerowy, zatem układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Liczę wyznaczniki zastępując kolumny poszczególnych zmiennych:
\(\displaystyle{ W_x = \begin{vmatrix} -1&-3&1 \\ 0&2&1 \\ 1&3&-1 \end{vmatrix} = 0 \\
W_y = \begin{vmatrix} 1&-1&1 \\ -1&0&1 \\ 2&1&-1 \end{vmatrix} = -3 \\
W_z = \begin{vmatrix} 1&-3&-1 \\ -1&2&0 \\ 2&3&1 \end{vmatrix} = 6}\)
Zatem rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ x=\frac{W_x}{W} = \frac{0}{-15} = 0 \\
y=\frac{W_y}{W} = \frac{-3}{-15} = \frac{1}{5} \\
z=\frac{W_z}{W} = \frac{6}{-15} = -\frac{2}{5}}\)

[manu_utd]

rozwiąże ktoś przykład a i b

[miodzio1988]

Nie. ELiminacja Gaussa