Podprzestrzeń liniowa

[lennyh]

Pokazać, że dla podzbioru \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ lin(A)}\) jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) zawierającą \(\displaystyle{ A}\).

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ W \subset V}\) będzie dowolną podprzestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ lin(A).}\)
Wówczas \(\displaystyle{ W}\) zawiera każdą kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, ..., \alpha_{k},}\) a więc każdy wektor z \(\displaystyle{ lin(A),}\) Stąd \(\displaystyle{ lin(A) \subset W.}\)

[Ein]

Niech \(\displaystyle{ W \subset V}\) będzie dowolną podprzestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ lin(A).}\)

Innymi słowy: niech \(\displaystyle{ \text{lin}(A)\subseteq W}\).

(...) Stąd \(\displaystyle{ lin(A) \subset W.}\)

Dowód przez założenie tezy.

@lennyh: Jaką definicję \(\displaystyle{ \text{lin}(A)}\) przyjąłeś?

[lennyh]

Jaką definicję \(\displaystyle{ \text{lin}(A)}\) przyjąłeś?

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) i niech \(\displaystyle{ A \subseteq V}\). \(\displaystyle{ lin(A)}\) to zbiór wszystkich liniowych kombinacji wektorów z \(\displaystyle{ A}\).

Czy poprawne jest:

Weźmy \(\displaystyle{ v = \alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n}\) i \(\displaystyle{ u = \beta_1 u_1 + ... + \beta_n u_n}\),
\(\displaystyle{ u, v \in lin(A),\ \ u_i, v_i \in A,\ \ \alpha_i, \beta_i \in K}\).
Wtedy \(\displaystyle{ v + u \in lin(A)}\) i \(\displaystyle{ \gamma v \in lin(A)}\) dla \(\displaystyle{ \gamma \in K}\).
Zatem \(\displaystyle{ lin(A)}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).



Jak pokazać, że najmniejszą zawierającą \(\displaystyle{ A}\)?

[Ein]

Czy poprawne jest:

Weźmy \(\displaystyle{ v = \alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n}\) i \(\displaystyle{ u = \beta_1 u_1 + ... + \beta_n u_n}\),
\(\displaystyle{ u, v \in lin(A),\ \ u_i, v_i \in A,\ \ \alpha_i, \beta_i \in K}\).
Wtedy \(\displaystyle{ v + u \in lin(A)}\) i \(\displaystyle{ \gamma v \in lin(A)}\) dla \(\displaystyle{ \gamma \in K}\).
Zatem \(\displaystyle{ lin(A)}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).

Powinieneś dokładnie napisać, dlaczego \(\displaystyle{ v+u,\gamma v\in\text{lin}(A)}\).

Jak pokazać, że najmniejszą zawierającą \(\displaystyle{ A}\)?

Weź dowolny wektor \(\displaystyle{ v\in\text{lin}(A)}\) i dowolną podprzestrzeń \(\displaystyle{ B}\) zawierającą \(\displaystyle{ A}\) i uzasadnij, dlaczego \(\displaystyle{ v\in B}\). Stąd wyniknie, że \(\displaystyle{ \text{lin}(A)\subseteq B}\) dla dowolnej podprzestrzeni zawierającej zbiór \(\displaystyle{ A}\).

[lennyh]

Powinieneś dokładnie napisać, dlaczego \(\displaystyle{ v+u,\gamma v\in\text{lin}(A)}\).

\(\displaystyle{ v = \alpha_1 v_1 + ... +\alpha_n v_n}\), \(\displaystyle{ v \in lin(A)}\),
\(\displaystyle{ \gamma v = \gamma \alpha_1 v_1 + ... +\gamma \alpha_n v_n}\) jest kombinacją liniową wektorów z \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ \gamma v \in lin(A)}\).

\(\displaystyle{ u = \beta_1 v_1 + ... +\beta_n v_n}\), ponieważ \(\displaystyle{ u \in lin(A)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ u + v = (\alpha_1+\beta_1)v_1 + ... + (\alpha_n + \beta_n)v_n \in lin(A)}\)

Weź dowolny wektor \(\displaystyle{ v\in\text{lin}(A)}\) i dowolną podprzestrzeń \(\displaystyle{ B}\) zawierającą \(\displaystyle{ A}\) i uzasadnij, dlaczego \(\displaystyle{ v\in B}\). Stąd wyniknie, że \(\displaystyle{ \text{lin}(A)\subseteq B}\) dla dowolnej podprzestrzeni zawierającej zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Niech \(\displaystyle{ v\in\text{lin}(A)}\). Weźmy \(\displaystyle{ B}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), które będzie podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).
\(\displaystyle{ v = \alpha_1 a_1 + ... + \alpha_n a_n, \ \ a_i \in A, \ \ \alpha_i \in K}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest podprzestrzenią, zachodzi \(\displaystyle{ k_1 w_1 + ... +k_n w_n \in B}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ k_i \in K}\) i \(\displaystyle{ w_i \in B}\) (B zamknięte na dodawanie wektorów i mnożenie przez skalary). \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), dlatego \(\displaystyle{ v \in B}\). Zatem dla dowolnej przestrzeni \(\displaystyle{ B}\) zawierającej \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ \ \ \ \text{lin}(A)\subseteq B}\), w związku z tym \(\displaystyle{ lin(A)}\) jest najmniejszą podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) zawierającą \(\displaystyle{ A}\).

[Ein]

\(\displaystyle{ v = \alpha_1 v_1 + ... +\alpha_n v_n}\), \(\displaystyle{ v \in lin(A)}\),
\(\displaystyle{ \gamma v = \gamma \alpha_1 v_1 + ... +\gamma \alpha_n v_n}\) jest kombinacją liniową wektorów z \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ \gamma v \in lin(A)}\).

Dobrze.

\(\displaystyle{ u = \beta_1 v_1 + ... +\beta_n v_n}\), ponieważ \(\displaystyle{ u \in lin(A)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ u + v = (\alpha_1+\beta_1)v_1 + ... + (\alpha_n + \beta_n)v_n \in lin(A)}\)

Dobrze. Zauważ tylko, że \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) mogą być rozpinane przez różne wektory z \(\displaystyle{ A}\). Zatem powinieneś raczej napisać:

\(\displaystyle{ v = \alpha_1 v_1 + ... +\alpha_n v_n}\)
\(\displaystyle{ u = \beta_1 u_1 + ... +\beta_m u_m}\)

\(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) mogą być różne. Skąd: \(\displaystyle{ u+v=\alpha_1 v_1 + ... +\alpha_n v_n+\beta_1 u_1 + ... +\beta_m u_m}\), czyli \(\displaystyle{ u+v\in\text{lin}(A)}\).

Gdybyś chciał zachować swoją notację, to musiałbyś pamiętać, że niektóre z \(\displaystyle{ \alpha_i}\) lub \(\displaystyle{ \beta_j}\) mogą być zerowe (czyli, że np. \(\displaystyle{ u}\) może wykorzystywać mniej wektorów z \(\displaystyle{ A}\) niż \(\displaystyle{ v}\)). Ot, taki drobny szczegół, o którym warto pamiętać.

Niech \(\displaystyle{ v\in\text{lin}(A)}\). Weźmy \(\displaystyle{ B}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), które będzie podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).
\(\displaystyle{ v = \alpha_1 a_1 + ... + \alpha_n a_n, \ \ a_i \in A, \ \ \alpha_i \in K}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest podprzestrzenią, zachodzi \(\displaystyle{ k_1 w_1 + ... +k_n w_n \in B}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ k_i \in K}\) i \(\displaystyle{ w_i \in B}\) (B zamknięte na dodawanie wektorów i mnożenie przez skalary). \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), dlatego \(\displaystyle{ v \in B}\). Zatem dla dowolnej przestrzeni \(\displaystyle{ B}\) zawierającej \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ \ \ \ \text{lin}(A)\subseteq B}\), w związku z tym \(\displaystyle{ lin(A)}\) jest najmniejszą podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) zawierającą \(\displaystyle{ A}\).

Bardzo dobrze!