Funkcjonały liniowe - łatwy dowodzik.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) będą funkcjonałami liniowymi z przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) do ciała skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\). Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ ker y_1 \subset ker y_2}\) to istnieje skalar \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ y_1=\alpha y_2}\).

[szw1710]

Wydawało mi się, że to nieprawda. Rozważałem przestrzeń liczb zespolonych nad ciałem liczb zespolonych. Ale podany tu przykład był błędny. Wziąłem sprzężenie w roli pierwszego funkcjonału. Otóż jest to funkcjonał addytywny. Jest też jednorodny, ale tylko ze względu na skalary rzeczywiste, ale nie zespolone i tu popełniłem błąd. A więc jest to odwzorowanie liniowe przestrzeni liczb zespolonych nad ciałem liczb rzeczywistych w siebie, ale nie w ciało skalarów .

Pomyśleć muszę.

[Ein]

Brakuje założenia o niezerowości funkcjonału \(\displaystyle{ y_2}\): gdy \(\displaystyle{ y_2\equiv0}\), to \(\displaystyle{ \text{ker}(y_2)=V}\), i \(\displaystyle{ y_1}\) może być dowolny niezerowy.

Trzeba zatem założyć, że \(\displaystyle{ y_2\not\equiv0}\).

W przestrzeni skończenie wymiarowej, jądro funkcjonału ma zawsze wymiar \(\displaystyle{ \text{dim}(V)-1}\). Zatem jądra \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) są równe. Wystarczy więc wziąć jeden wektor spoza jądra i na nim określić wartość funkcjonału.

W przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych, trzeba by chyba założyć jakąś ciągłość...

[szw1710]

Właśnie do tego doszedłem, kasując zdanie po "pomyśleć muszę" Wtedy kontrprzykład jest trywialny.

-- 10 kwi 2012, o 18:02 --

Ein, ale jeśli topologii nie mamy?

Ale coś w tym jest. Jądro jest hiperpłaszczyzną: ma zawsze kowymiar \(\displaystyle{ 1.}\) Trzeba by tak kombinować.

[Ein]

Hmm... Autor pytania zamieścił je w dziale "Algebra liniowa", co sugerowałoby, że mowa o przestrzeniach skończenie wymiarowych.

@tometomek91: zakładamy coś o \(\displaystyle{ V}\)?

[szw1710]

Bo ja wiem? Przecież w kursie algebry liniowej chyba też się rozważa przestrzenie nieskończenie wymiarowe. Ale może się mylę? Trochę czasu upłynęło od moich studiów.

To może skoncentrujmy się na obaleniu twierdzenia w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych Hulaj dusza, weźmy sobie ciągłość, weźmy co chcemy. Wejdźmy w przestrzenie znane z analizy funkcjonalnej.

[Ein]

A w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru to nie będzie tak samo? Jądra mają kowymiar 1, więc skoro jedno jest zawarte w drugim, to są sobie równe. Pozostaje zatem określić wartość na jednym dowolnym wektorze spoza jądra.

[szw1710]

No i właśnie

Ja to lubię obalać (twierdzenia ). W podobnych sytuacjach pracuję dwutorowo, i nad dowodem, i nad kontrprzykładem. No chyba że mam wyrobioną intuicję.

[tometomek91]

Dzięki Wam za pomoc. Mam jednak jeszcze trochę pytań.
A jakby \(\displaystyle{ V}\) była skończenie wymiarowa?
Dleczego zawsze jądro ma wymiar \(\displaystyle{ dimV-1}\)?
Dlazcego jądra \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) są takie same?

[Ein]

Z twierdzenia o indeksie: \(\displaystyle{ \dim\text{ker}(T)+\dim\text{im}(T)=\dim V}\), gdzie \(\displaystyle{ T:V\to W}\) jest operatorem liniowym między przestrzeniami liniowymi. Funkcjonał liniowy \(\displaystyle{ y}\) jest operatorem w przestrzeń jednowymiarową (ciało skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\)), a więc gdy jest niezerowy, to \(\displaystyle{ \dim\text{im}(y)=1}\).

Równość jąder wynika z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\) taką, że \(\displaystyle{ \dim X=\dim Y}\), to \(\displaystyle{ X=Y}\).

[tometomek91]

A jak określić wartość tego funkcjonału na wektorze spoza jądra?

[Ein]

Nie rozumiem pytania.

Chodzi o to, że dla dowolnego niezerowego funkcjonału \(\displaystyle{ y:V\to\mathbb{F}}\) i dowolnego wektora \(\displaystyle{ v}\) spoza jądra \(\displaystyle{ y}\) zachodzi \(\displaystyle{ V=\text{span}(v)\oplus\text{ker}(y)}\). A więc wartość \(\displaystyle{ y}\) na \(\displaystyle{ v}\) determinuje wartość \(\displaystyle{ y}\) na dowolnym wektorze z \(\displaystyle{ V}\).

Zatem w naszym przypadku dla \(\displaystyle{ v\not\in\text{ker}(y_2)=\text{ker}(y_1)}\) zachodzi: \(\displaystyle{ y_1(v)=\alpha y_2(v)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha:=\frac{y_1(v)}{y_2(v)}}\) (możemy wykonać dzielenie, bo \(\displaystyle{ y_2(v)\neq0}\)).

[bubka]

Ogólnie rzecz biorąc jeśli przecięcie jąder funkcjonałów \(\displaystyle{ f_{1},f_{2},...,f_{n}}\) zawiera się w jądrze funkcjonału \(\displaystyle{ f}\) ,to \(\displaystyle{ f}\) leży w rozpięciu liniowym \(\displaystyle{ span({f_{1},...,f_{n}})}\) . To lemat wykorzystywany w definiowaniu słabych topologii zadanych przez podprzestrzeń przestrzeni dualnej. Jak wiadomo z analizy funkcjonalnej : dla \(\displaystyle{ Y}\) - podprzestrzeni dualnej algebraicznej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) mamy : \(\displaystyle{ (X,w(X,Y))^{*} = Y}\). Tutaj : \(\displaystyle{ w(X,Y)}\) oznacza topologię słabą zadaną przez podprzestrzeń \(\displaystyle{ Y}\).
Dowód polega na zdefiniowaniu odwzorowania \(\displaystyle{ u(x) = (f_{1}(x),...,f_{n}(x))}\) oraz odwzorowania \(\displaystyle{ h(f_{1}(x),...,f_{n}(x)) = f(x)}\). Wobec zawierania jąder mamy dobrą określonośc \(\displaystyle{ h}\) które rozszerzamy do całego \(\displaystyle{ K^{n}}\) (\(\displaystyle{ K}\) - ciało). Wtedy
\(\displaystyle{ f = hu}\) , a \(\displaystyle{ h}\) jest postaci \(\displaystyle{ h(x_{1} ,...,x_{n}) = a_{1}x_{1} + ... +a_{n} x_{n}}\). Stąd \(\displaystyle{ f = a_{1}f_{1} + ... + a_{n}f_{n}}\).