przekształcenie liniowe

[ali00491]

Mam pytanie skąd wynika
\(\displaystyle{ L(1)= -1
L(x)= x
L(x^{2})=x^{2} -1
L(x^{3})=2x^{3} + 3x^{2} -1}\)
przy przekształceniu liniowym \(\displaystyle{ R_{3}[x] -> R_{3}[x] (Lp)(x)=xp'(x+1) - p(x+1)}\)
wiem że \(\displaystyle{ 1, x, x^{2}, x^{3}}\) to bazy standardowe ale skąd jak dojść do tych wyników po prawej stronie?
Bardzo proszę o pomoc!!

[Ein]

Po prostu wstaw po kolei \(\displaystyle{ 1,x,x^2,x^3}\) zamiast tego \(\displaystyle{ p}\) w definicji operatora \(\displaystyle{ L}\) i policz.

[ali00491]

nie rozumiem... podstawiam za p i nic mi nie wychodzi
\(\displaystyle{ L(1)=x(x+1)'-(x+1)=x-x-1=-1}\)
\(\displaystyle{ L(x)=x*x(x+1)'-x(x+1)=x^{2}-x^{2}-x=-x}\)
\(\displaystyle{ L(x^{2}=x^{3}-x^{3}-x^{2}=-x^{2}}\)

[Ein]

\(\displaystyle{ p'}\) to jest pochodna wielomianu \(\displaystyle{ p}\).

Czyli w Twoim przypadku \(\displaystyle{ p}\) to \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\) albo \(\displaystyle{ x^3}\). Jaka jest pochodna z \(\displaystyle{ 1}\)? A jaka z \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ x^2}\)? Po policzeniu tej pochodnej zamiast wielomianu \(\displaystyle{ p'(x)}\) rozpatrujesz wielomian \(\displaystyle{ p'(x+1)}\).

[ali00491]

umiem liczyć pochodne, wiem jak ma wyglądać dla p(x) ale nie umiem policzyć p(x+1) możesz mi to rozpisać?

[Ein]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie wielomianem, czyli \(\displaystyle{ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n}\). Wtedy \(\displaystyle{ p(x+1)=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+\ldots+a_n(x+1)^n}\).

[ali00491]

ok dzięki chyba zaczaiłam
\(\displaystyle{ L(1)=x(x+1)'-(x+1)=x-x-1=-1}\)
\(\displaystyle{ L(x^{2})=x(x+1)^{2}'-(x+1)^{2}=x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ L(x^{3})=x(x+1)^{3}'-(x+1)^{3}=2x^{3}+3x^{2}-1}\)
ale nie wiem jak zapisać \(\displaystyle{ L(x)}\)??

[Ein]

Ale \(\displaystyle{ 1}\) to wielomian stale równy \(\displaystyle{ 1}\). Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi: \(\displaystyle{ 1(x)=1}\), a nie \(\displaystyle{ 1(x)=x}\). Jest to funkcja stała! A więc również \(\displaystyle{ 1(x+1)=1}\).

Twoje \(\displaystyle{ L(1)}\) to właśnie jest \(\displaystyle{ L(x)}\)!