Dla macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -7&0&6 \\ 0&5&0\\ 6&0&2 \end{bmatrix}}\) mam wyznaczyć wektory własne.
Otrzymałem dwie wartości własne: \(\displaystyle{ 5}\) (podwójna), \(\displaystyle{ -10}\).
Dla \(\displaystyle{ 5}\) z warunku \(\displaystyle{ Au=5u}\) otrzymałem, że \(\displaystyle{ 2u_1=u_3}\) , \(\displaystyle{ u_2 \in \mathbb{R}}\). Czy to oznacza, że dla tej wartości własnej są dwa wektory własne, np. \(\displaystyle{ (0,1,0), (1,0,2)}\) ? Skąd mam wiedzieć kiedy ile jest wektorów własnych?
Wektory własne
-
Ein
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Wektory własne
Musisz nauczyć się czytać macierze. Macierze to nie są jakieś tam tabelki z liczbami. Każda macierz odpowiada konkretnemu bytowi matematycznemu -- operatorowi między przestrzeniami liniowymi.
I teraz spójrzmy, jak zachowuje się operator wyznaczony przez podaną przez Ciebie macierz \(\displaystyle{ M}\). Zakładamy, że macierz jest zapisana względem jakiejś bazy \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) (nie ma znaczenia co to za baza).
Od razu rzuca się w oczy, że \(\displaystyle{ Me_2=5e_2}\) (dlaczego się rzuca w oczy? ano dlatego, że \(\displaystyle{ 5}\) jest na przekątnej i w tej samej kolumnie są już tylko zera, a więc wektor \(\displaystyle{ Me_2}\) będzie zapisany tylko i wyłącznie przy użyciu wektora \(\displaystyle{ e_2}\)). Czyli \(\displaystyle{ 5}\) jest wartością własną, a wektorem do niej stowarzyszonym jest np. właśnie \(\displaystyle{ e_2}\). Zauważ, że zamiast \(\displaystyle{ 5}\) mogłoby być cokolwiek i ta wartość byłaby wartością własną macierzy \(\displaystyle{ M}\).
Co dalej widać z samej macierzy? A no to, że \(\displaystyle{ Me_1\in\text{span}(e_1,e_3)}\) oraz tak samo \(\displaystyle{ Me_3\in\text{span}(e_1,e_3)}\). Dlaczego widać? A no dlatego, że w kolumnach odpowiadających przekształceniu \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_3}\) w miejscu odpowiadającym wektorowi bazowemu \(\displaystyle{ e_2}\) masz \(\displaystyle{ 0}\). Czyli wektor \(\displaystyle{ e_2}\) nie jest używany do zapisu \(\displaystyle{ Me_1}\) i \(\displaystyle{ Me_3}\).
Co z ostatniego akapitu wynika? A no to, że \(\displaystyle{ M(\text{span}(e_1,e_3))\subseteq\text{span}(e_1,e_3)}\) (przy czym \(\displaystyle{ M}\) używam tu w sensie funkcji (operatora), a nie macierzy), a więc dostajemy operator \(\displaystyle{ M|_{\text{span}(e_1,e_3)}:\text{span}(e_1,e_3)\to\text{span}(e_1,e_3)}\), któremu odpowiada macierz \(\displaystyle{ 2\times2}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -7&6 \\ 6&2 \end{bmatrix}}\)
Oznaczmy ją \(\displaystyle{ N}\). Zredukowaliśmy zatem problem znalezienia wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ 3\times3}\) do macierzy \(\displaystyle{ 2\times2}\). Wszystko dzięki dokładniejszemu przyjrzeniu się macierzy wyjściowej. Oczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ N}\), to jest też wartością własną \(\displaystyle{ M}\), ponieważ działamy na podprzestrzeni \(\displaystyle{ \text{span}(e_1,e_3)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \text{span}(e_1,e_2,e_3)}\).
Poradzisz sobie z macierzą \(\displaystyle{ N}\)?
I teraz spójrzmy, jak zachowuje się operator wyznaczony przez podaną przez Ciebie macierz \(\displaystyle{ M}\). Zakładamy, że macierz jest zapisana względem jakiejś bazy \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) (nie ma znaczenia co to za baza).
Od razu rzuca się w oczy, że \(\displaystyle{ Me_2=5e_2}\) (dlaczego się rzuca w oczy? ano dlatego, że \(\displaystyle{ 5}\) jest na przekątnej i w tej samej kolumnie są już tylko zera, a więc wektor \(\displaystyle{ Me_2}\) będzie zapisany tylko i wyłącznie przy użyciu wektora \(\displaystyle{ e_2}\)). Czyli \(\displaystyle{ 5}\) jest wartością własną, a wektorem do niej stowarzyszonym jest np. właśnie \(\displaystyle{ e_2}\). Zauważ, że zamiast \(\displaystyle{ 5}\) mogłoby być cokolwiek i ta wartość byłaby wartością własną macierzy \(\displaystyle{ M}\).
Co dalej widać z samej macierzy? A no to, że \(\displaystyle{ Me_1\in\text{span}(e_1,e_3)}\) oraz tak samo \(\displaystyle{ Me_3\in\text{span}(e_1,e_3)}\). Dlaczego widać? A no dlatego, że w kolumnach odpowiadających przekształceniu \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_3}\) w miejscu odpowiadającym wektorowi bazowemu \(\displaystyle{ e_2}\) masz \(\displaystyle{ 0}\). Czyli wektor \(\displaystyle{ e_2}\) nie jest używany do zapisu \(\displaystyle{ Me_1}\) i \(\displaystyle{ Me_3}\).
Co z ostatniego akapitu wynika? A no to, że \(\displaystyle{ M(\text{span}(e_1,e_3))\subseteq\text{span}(e_1,e_3)}\) (przy czym \(\displaystyle{ M}\) używam tu w sensie funkcji (operatora), a nie macierzy), a więc dostajemy operator \(\displaystyle{ M|_{\text{span}(e_1,e_3)}:\text{span}(e_1,e_3)\to\text{span}(e_1,e_3)}\), któremu odpowiada macierz \(\displaystyle{ 2\times2}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -7&6 \\ 6&2 \end{bmatrix}}\)
Oznaczmy ją \(\displaystyle{ N}\). Zredukowaliśmy zatem problem znalezienia wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ 3\times3}\) do macierzy \(\displaystyle{ 2\times2}\). Wszystko dzięki dokładniejszemu przyjrzeniu się macierzy wyjściowej. Oczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ N}\), to jest też wartością własną \(\displaystyle{ M}\), ponieważ działamy na podprzestrzeni \(\displaystyle{ \text{span}(e_1,e_3)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \text{span}(e_1,e_2,e_3)}\).
Poradzisz sobie z macierzą \(\displaystyle{ N}\)?