Jak znaleźć ten sam wektor w innej przestrzeni?

Kartik · Post autor: **Kartik** » 27 mar 2012, o 23:07

Witam,
Mam wektor np. [1, 2, 3] w jakiejś przestrzeni wyznaczonej przez 3 wektory.
Np:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Chciałbym wiedzieć jaką wartości ma ten wektor w jakiejś innej przestrzeni trójwymiarowej wyznaczonej przez 3 dowolne wektory nie koniecznie prostopadłe do siebie itd...

Nie jestem matematykiem, więc przepraszam za niefachowy opis problemu

Pozdrawiam!

miki999 · Post autor: **miki999** » 27 mar 2012, o 23:13

Problem sprowadza się do rozwiązania:
$\displaystyle{ \alpha \vec{x_1}+\beta \vec{x_2}+\gamma \vec{x_3}=[1, 2, 3]}$
gdzie $\displaystyle{ \alpha,\, \beta,\, \gamma}$ to zmienne, które należy wyznaczyć, natomiast $\displaystyle{ \vec{x_1},\, \vec{x_2},\, \vec{x_3}}$ są wektorami innej bazy.
Oczywiście powyższy problem jest równoważny układowi równań o 3 niewiadomych.

Pozdrawiam.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 mar 2012, o 23:13

Więc fachowo chodzi tu o zmianę bazy. Jeśli mamy trzy wektory liniowo niezależne (ich wyznacznik jest niezerowy) $\displaystyle{ u,v,w}$, to poszukujesz skalarów (liczb) $\displaystyle{ a,b,c}$ takich, żeby dany wektor $\displaystyle{ z}$ był kombinacją liniową tych właśnie wektorów:

$\displaystyle{ z=au+bv+cw}$

Współrzędne wektorów $\displaystyle{ u,v,w}$ są dane w bazie standardowej.

Nasze zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Np. mamy $\displaystyle{ u=[1,0,0],\;v=[1,1,0],\;w=[1,1,1]}$

Wtedy $\displaystyle{ [1,2,3]=a[1,1,1]+b[0,1,1]+c[0,0,1]\iff a=b=c=1}$

Więc wektor $\displaystyle{ [1,2,3]}$ ma w bazie $\displaystyle{ [1,1,1],\;[0,1,1],\;[0,0,1]}$ współrzędne $\displaystyle{ [1,1,1].}$

Kartik · Post autor: **Kartik** » 28 mar 2012, o 00:30

Dziękuję za odpowiedź.

Niestety nie wiele rozumiem :/
To znaczy nie wiem jak to ująć w jakiś algorytm.
Czy da się to rozwiązać jakoś krok po kroku na macierzach/wektorach, mnożąc/dodając/transponując?
Muszę to jakoś zaimplementować.

Jeśli to więcej roboty to chętnie się jako$ odwdzięczę

zidan3 · Post autor: **zidan3** » 28 mar 2012, o 01:27

Jest jako taki algorytm, ale on sie sam narzuca jak wiesz o co chodzi.
A wiec, jesli szukasz wspolrzednych wektora w jakiejs bazie to mozna zrobic:
-Wpisujesz do macierzy (kolumnami) wektory bazy
-"Za kreska" wpisujesz wektor, ktorego szukasz wspolrzednych
-Doprowadasz lewa strone do postaci schodkowej zredukowanej, bedzie 1 rozwiazanie i to sa wlasnie szukane wspolrzedne.

e/ oczywiscie jest to uproszczenie, tego co napisali Panowie powyzej.

Kartik · Post autor: **Kartik** » 28 mar 2012, o 12:31

Ok, zakumałem...
Dzięki za:

Więc fachowo chodzi tu o zmianę bazy.

Resztę doczytałem w Wikipedii.

Wielkie dzięki!