tożsamość metryki

[rezystor]

Witam mam do rozwiązania nstp. zadanie.
Wykazać, że dla każdych dwóch wektorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) w przestrzeni euklidesowej lub unitarnej spełniona jest tożsamość:
\(\displaystyle{ ||x+y||^{2} + ||x-y||^{2} = 2||x||^{2}+2||y||^{2}}\).

Mam taki pomysł, żeby to rozwiązać.
Z definicji metryki wiemy że zachodzi:
\(\displaystyle{ ||x||^{2} = \sum{x^{2}}}\) analogicznie zachodzi dla \(\displaystyle{ y}\)
Widzimy że zachodzi:
\(\displaystyle{ ||x \pm y||^{2} = \sum{(x \pm y)^{2}} = \sum{x^{2}} \pm 2 \sum{x y} + \sum{y^{2}}}\)
No i podstawiamy:
\(\displaystyle{ ||x+y||^{2} + ||x-y||^{2} = \sum{(x+y)^{2}} + \sum{(x-y)^{2}} = \sum{x^{2}} + 2 \sum{x y} + \sum{y^{2}} + \sum{x^{2}} - \sum{x y} + \sum{y^{2}} = 2 \sum{x^{2}} + 2 \sum{y^{2}} = 2 ||x||^{2} + 2 ||y||^{2}}\).
Czy dobrze to zrobiłem dla euklidesa?
Jeżeli tak to jak uogólnić to na unitarną?

[miki999]

\(\displaystyle{ ||x||^{2} = \sum{x^{2}}}\)

Co przez to rozumiesz?

Popatrz na regułę równoległoboku. Jako, że na angielskiej wiki jest to zgrabnie udowodnione, posłużę się linkiem: .


Pozdrawiam.

[rezystor]

To takie uproszczenie.
\(\displaystyle{ ||x||= \sqrt{\sum{x^2}} \Longleftrightarrow ||x||=||x||_{2} := \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}}\)
Jest to w linku który podałeś w paragrafie Normed vector spaces satisfying the parallelogram law.
Ale można zrobić to tak jak ja zrobiłem.