Szukanie Bazy

[ocelon]

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć krok po kroku w jaki sposób mam szukać bazy danej przestrzeni?

Dla przykładu podam wektory:

\(\displaystyle{ \vec{a} = (1,1,1) , \vec{b} = (0,0,1), \vec{c} = (1,0,0)}\)

Z tego wynika, że jest to przestrzeń \(\displaystyle{ R^3}\)

[marines27]

Baza to MAKSYMALNY układ wektorów liniowo niezależnych.

[ocelon]

Czyli sprawdzam ich niezależność ?

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha _{1}+ \alpha _{3}=0 \\\alpha _{1}=0\\\alpha _{1}+\alpha _{2}=0 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha _{1}=0 \\\alpha _{2}=0\\\ \alpha _{3}=0 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0}\)

Stąd wynika, że wektory są niezależne ... Więc to będzie baza ??

[alfgordon]

tak, wektory są liniowo niezależne więc są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)

[ocelon]

Co jeżeli byłby liniowo zależne ? Z tego co się orientuję odrzucamy jeden, ale czy jest on dowolny ?

[alfgordon]

np jak byś miał:
\(\displaystyle{ (1,1,0),(1,0,0),(0,1,0)}\)

to wektor: \(\displaystyle{ (1,1,0)}\) jest liniowo zależny ponieważ:
\(\displaystyle{ (1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)}\) a więc jest kombinacją liniową pozostałych wektorów i nie 'wyrzucasz' dowolnego tylko wektor liniowo zależny

[ocelon]

Jak już jesteśmy przy bazach to jak znaleźć przekształcenie jednej bazy w drugą ? Mamy np. :

\(\displaystyle{ e_1=(2,-1), e_2 = (4,-5), f_1 = (0,2), f_2=(5,-1)}\)
\(\displaystyle{ \left\{ e\right\} \rightarrow \left\{ f\right\}}\)
Domyślam, że najpierw wypadałoby sprawdzić, czy faktycznie są to bazy. Co dalej ?

[alfgordon]

... ia_liniowe

popatrz na zadanie 4.5

[ocelon]

Tak, ale tutaj mamy : \(\displaystyle{ \ R^2 \rightarrow R^2}\), prawda?

[marines27]

Tak tutaj jest \(\displaystyle{ \ R^2 \rightarrow R^2}\)

[ocelon]

Więc co ma zadanie 4.5 do tego przykładu ?

[marines27]

Postaram się to jakoś wytłumaczyć: np: \(\displaystyle{ \ R^2 \rightarrow R^2}\)

\(\displaystyle{ e_1=(2,-1), e_2 = (4,-5),}\) -zapis te oznacza, że wektor \(\displaystyle{ e_1=(2,-1)}\) ma dwie współrzędne: a=2 i b=-1, itd.

Ponadto mamy odwzorowanie(wzór) który przekształca powyższe wektory w takie : \(\displaystyle{ f_1 = (0,2), f_2=(5,-1)}\)

Musimy znaleźć ten wzorek. Jak?
\(\displaystyle{ e_1=(2,-1)}\) przekształcono w \(\displaystyle{ f_1 = (0,2)}\)

Czyli; 2a-b=0 oraz 2c-d=2
Następnie:
\(\displaystyle{ e_2=(4,-5)}\) przekształcono w \(\displaystyle{ f_1 = (5,-1)}\)
Czyli 4a-5b=5 oraz 4c-5d=-1

Po obliczeniu a,b,c,d z układu równań otrzymasz: wzór odwzorowania
\(\displaystyle{ -\frac{5}{6}x+ \frac{5}{3}y, \frac{11}{6}x+ \frac{10}{6}y}\)


Rozumiesz??

[ocelon]

To na dole będzie odpowiedź ?