Wykładnicza definicja macierzy - własność

[MichTrz]

W rozwiązywaniu układów równań różniczkowych spotyka sie definicję wykładniczą macierzy, tzn. dla macierzy \(\displaystyle{ A}\) mamy \(\displaystyle{ e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty } \frac{(At)^k}{k!}}\). Jak udowodnić, że jeśli macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) komutują, tzn. \(\displaystyle{ AB=BA}\) to \(\displaystyle{ e^{A+B} = e^A e^B}\) ? Ma ktoś pomysl ?

[Ein]

Wstaw to \(\displaystyle{ A+B}\) po prostu do definicji eksponensa, poobliczaj ze wzoru Newtona potęgi \(\displaystyle{ (At+Bt)^k}\) i na koniec skorzystaj z faktu komutowania macierzy. Tu trzeba po prostu siąść i to rozpisać -- nie ma tu żadnej magii.