Wykładnicza definicja macierzy - własność
-
- Użytkownik
- Posty: 359
- Rejestracja: 30 paź 2010, o 15:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ZG
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykładnicza definicja macierzy - własność
W rozwiązywaniu układów równań różniczkowych spotyka sie definicję wykładniczą macierzy, tzn. dla macierzy \(\displaystyle{ A}\) mamy \(\displaystyle{ e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty } \frac{(At)^k}{k!}}\). Jak udowodnić, że jeśli macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) komutują, tzn. \(\displaystyle{ AB=BA}\) to \(\displaystyle{ e^{A+B} = e^A e^B}\) ? Ma ktoś pomysl ?
Ostatnio zmieniony 25 mar 2012, o 17:24 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Wykładnicza definicja macierzy - własność
Wstaw to \(\displaystyle{ A+B}\) po prostu do definicji eksponensa, poobliczaj ze wzoru Newtona potęgi \(\displaystyle{ (At+Bt)^k}\) i na koniec skorzystaj z faktu komutowania macierzy. Tu trzeba po prostu siąść i to rozpisać -- nie ma tu żadnej magii.