czy wektory są niezależne?

[okaokajoka]

\(\displaystyle{ e_1= 1- \cos ^2x ;\\
e_2= 1-2\sin ^2x ;\\
e_3= 1 ;\\
e_4 = 1- \sin ^2x}\)

mógłby ktoś sprawdzić poprawność rozwiązania?

\(\displaystyle{ L_1 = - L_3 ;\\
L_2 = -2L_3 ;\\
L_4 = -5L_3 ;\\
L_3 = L_3}\)


czyli jak na razie mamy zależność liniową, wektor którego musimy się pozbyć by otrzymać \(\displaystyle{ \ln z}\) to \(\displaystyle{ L_3}\), dobrze to jest??


edit zgubiłem minusa, teraz brakuje mi jednego równania, wszystko sie posypało

[JakimPL]

\(\displaystyle{ e_1 = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x = e_3 - e_4}\)

Usuwamy zatem.

\(\displaystyle{ e_2 = 1 - 2 \sin^2 x = 2 (1 - \sin^2 x) - 1 = 2 e_4 - e_3}\)

Tak chyba prościej .

[okaokajoka]

wyszło mi ostatecznie ze
\(\displaystyle{ L_2 = L_4; \ \ L_2 = 0; \ \ L_1= - L_3;}\)

dobrze?

[JakimPL]

Czym są te \(\displaystyle{ L_2}\) etc.?

[okaokajoka]

lamba, nie wiedziałem jak w latechu ja wpisać, wgl po co ten układ z e2 e4 skoro to lambdy mam wyznaczyć?

[JakimPL]

Żadnych lambd tu nie widzę. Jaka w ogóle jest pełna treść zadania?

[okaokajoka]

przecież podalem pełną treść zadania, "czy wektory są niezależne" lambdy biorą sie z definicji niezależności wektoru, chodzi mi o sam ukłąd czy poprawnie zrobiony mam, pomoże ktoś?

[JakimPL]

W definicji nic nie ma o lambdach, przynajmniej tej mi znanej . Przyznam się szczerze, że nie wiem, co to jest i czemu ma służyć . Jeżeli są to współczynniki przy wektorach, to naprawdę nie trzeba ich wyliczać, by móc stwierdzić, czy układ jest liniowo zależny.

Wektory są liniowo zależne, gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. W naszym przypadku pierwszy i drugi są kombinacją dwóch ostatnich. Układ jest liniowo zależny, natomiast układ wektorów \(\displaystyle{ (e_3,e_4)}\) jest już liniowo niezależny i tworzy bazę. Koniec zadania.

Innymi słowy, jeżeli układ jest niezależny, to:

\(\displaystyle{ \left[a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 + a_4 e_4 = 0\right] \Leftrightarrow \left[a_1, a_2, a_3, a_4 = 0\right]}\)

Ten warunek u nas NIE jest spełniony. Ale policzmy ze współczynnikami, jeżeli już musimy.

\(\displaystyle{ a_1 (1- \cos^2 x) + a_2 (1-2 \sin^2x) + a_3 + a_4 (1- \sin^2x)=0}\)

Po sporych przekształceniach otrzymuje się, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1 = a_1 \\ a_2 = a_2 \\ a_3 = -a_1 + a_2 \\ a_4 = a_1 - 2 a_2 \end{cases}}\)

Już teraz widać, że wektory są zależne; układ nie wyszedł \(\displaystyle{ a_1=0}\), \(\displaystyle{ a_2 =0}\), etc.

[okaokajoka]

rozpisałem jescze jedynkę jako sumę sinusa i cosinusa i wyszło mi wszystko zależne od a3, co o tym myślisz?? niby jedynka trygonometryczna uprościła mi sprawę bo mialem 5 minut liczenia ale wyszlo mi inaczej, co myślisz??

[JakimPL]

Wektory \(\displaystyle{ e_3}\) oraz \(\displaystyle{ e_4}\) są niezależne, nie powinno Ci wyjść wszystko zależne od \(\displaystyle{ 1}\). Oznaczałoby to, że:

\(\displaystyle{ \exists_{a3} \forall_x \ 1 - \sin^2 x = a_3}\)

co jest nieprawdziwe.