Podprzestrzeń liniowa

[boratsahgdyiev1]

Cześć,
mam problem ze sprawdzeniem czy zbiór dany w zadaniu jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ (\mathbb{R}^4, \mathbb{R}, +)}\)

\(\displaystyle{ V= \{(2x, x+y, 2x-y, x-2y): x, y \in \mathbb{R}\}}\)

Jak mam się do tego zabrać, liczyłbym na jakiś algorytm rozwiązywania zamiast samego wyniku.

[bartek118]

Algorytm jest taki. Weź dwa dowolne wektorki \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\) z tego zbioru \(\displaystyle{ V}\) i sprawdź, czy dowolna ich kombinacja liniowa \(\displaystyle{ \alpha v + \beta w}\) siedzi w tym zbiorku \(\displaystyle{ V}\).

[boratsahgdyiev1]

Mógłbyś chociaż zacząć ? Bo nie za bardzo rozumiem Twój pomysł.

[bartek118]

Niech \(\displaystyle{ v = (2x, x+y, 2x-y, x-2y)}\) oraz \(\displaystyle{ w = (2p, p+q,2p-q,p-2q)}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \alpha v + \beta w = (\alpha2x, \alpha(x+y), \alpha(2x-y), \alpha(x-2y)) + (\beta2p, \beta(p+q),\beta(2p-q),\beta(p-2q)) = (\alpha2x + \beta2p, \alpha(x+y) + \beta(p+q), \alpha(2x-y) + \beta(2p-q), \alpha(x-2y) + \beta(p-2q) )}\)

Kładąc teraz \(\displaystyle{ x' = \alpha x + \beta p}\), \(\displaystyle{ y' = \alpha y + \beta q}\) mamy:

\(\displaystyle{ \alpha v + \beta w = (2x', x'+y', 2x'-y', x'-2y')}\)

A taki wektor należy do \(\displaystyle{ V}\), czyli jest to podprzestrzeń.