Wartosci wlasne-sprawdzenie

[maaatrix]

Wyznaczyc wszystkie wektory wlasne macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & \ 2 & \ 0 \\ \ 0 & \ 7 & \ 0 \\ 0 & \ 0 & 1\end{bmatrix}}\),

odpowiadajace wartosci wlasnej \(\displaystyle{ \gamma=1}\) oraz wskazac 2 liniowo niezalezne wektory wlasne tej macierzy.

W takim razie \(\displaystyle{ A-I\gamma}\)= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & \ 2 & \ 0 \\ \ 0 & \ 6 & \ 0 \\ 0 & \ 0 & 0\end{bmatrix}}\),

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & \ 2 & \ 0 \\ \ 0 & \ 6 & \ 0 \\ 0 & \ 0 & 0\end{bmatrix}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x \\ \ y \\ z\end{bmatrix}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 \\ \ 0 \\ 0\end{bmatrix}}\).

Rzad wyszedl 1. A ostateczna postac macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & \ 2 & \ 0 \\ \ 0 & \ 0 & \ 0 \\ 0 & \ 0 & 0\end{bmatrix}}\).

R=1 i N=3 => Mamy 2 parametry. Tylko ze tu przeciez sie wszystko wyzeruje parametr tez. I jaka jest odpowiedz? Ze nie ma wartosci wlasnej ?

I drugie pytanie dot. dwoch liniowo niezaleznych wektorow wlasnych ? Ktore to sa ? I jak sie je wyznacza ? Czy w tym przypadku ich nie ma ?

[Ein]

To jest macierz górnotrójkątna, więc wartości własne masz na przekątnej. Tutaj jest to: \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 7}\).

Oznaczmy tę macierz przez \(\displaystyle{ M}\). Niech \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) będzie standardową bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Zauważ, że zachodzi: \(\displaystyle{ Me_1=e_1,Me_3=e_3}\). Wektory \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_3}\) są oczywiście liniowo niezależne.

Wektor własny stowarzyszony z \(\displaystyle{ 7}\) znajdziesz rozwiązując równanie: \(\displaystyle{ (M-7I)[x,y,z]^T=0}\).