Udowodnić, że funkcja jest iloczynem skalarnym

[kar0linka91]

Pokazać z definicji, że poniższa funkcja jest iloczynem skalarnym:
\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle = x ^{T}Ay}\)

gdzie A jest macierzą symetryczną dodatnio określoną. Następnie wyznaczyć normę generowaną
przez ten iloczyn skalarny i pokazać, że spełnia ona warunki normy

Mam nadzieję, że do dobrego działu zamieściłam zadanie, z którym nijak nie mogę sobie poradzić. Jeżeli nie to bardzo przepraszam

[szw1710]

Czym są \(\displaystyle{ x,y?}\)

Domyślam się oczywiście. Iloczyn skalarny to dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Określenie, które podajesz, właśnie takowy definiuje. Widać stąd, że przestrzeń liniowa, którą rozważasz, musi być rzeczywista, gdyż tylko wtedy iloczyn skalarny jest symetryczny. W przestrzeni zespolonej spełnia on inny, bardziej skomplikowany warunek.

[kar0linka91]

A można odrobinkę jaśniej dla osoby mniej wtajemniczonej w zawiłe zagadnienia

[szw1710]

Najpierw określ, czym są \(\displaystyle{ x,y}\).

[kar0linka91]

Mam doprecyzować zadanie, czy to jest ukryta wskazówka w formie pytania?

[Sawior]

x oraz y to wektory.

[szw1710]

Tak... jednak bądźmy bardziej wymagający. W jakiej przestrzeni?

kar0linka91, musisz po prostu zastosować reguły mnożenia macierzy i sprawdzić warunki definicyjne iloczynu skalarnego. Nic więcej.

[Sawior]

Przestrzeń w tym wypadku nie jest określona jednoznacznie więc bierzemy \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{n}}\).


Karolina czasem nie masz jutro ćwiczeń z MSiD ?

[szw1710]

Sawior, można by też standardowo wziąć \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Jak zauważyłem, przestrzeń musi rzeczywista, czyli nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\) Dziwnie by było rozważać \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{R},}\) choć nikt tego nie zabrania. Jednak \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to zwykłe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2n}.}\) Inaczej (zupełnie) wyglądają przestrzenie zespolone. Np. czym jest \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{C}?}\) To przestrzeń jednowymiarowa. A nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) dwuwymiarowa. Iloczyny skalarne definiuje się inaczej na przestrzeniach rzeczywistych i zespolonych. Stąd potrzebne rozróżnienie.

[~marta~]

A jak wyznaczyć normę tego iloczynu?

[szw1710]

Mieszasz pojęcia. Iloczyn skalarny to liczba. Więc jej normą jest moduł.

Chodzi Ci zapewne o postać normy generowanej przez iloczyn skalarny: \(\displaystyle{ \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.}\)