znaleźć bazę jadra i obraz

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
bekisssablex3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

znaleźć bazę jadra i obraz

Post autor: bekisssablex3 »

Mam za zadanie znaleźć jakąś bazę jądra i bazę obrazu oraz ustalić czy odwzorowanie jest izomorfizmem .
Chciałam,aby ktoś sprawdził czy robię to dobrze bądź ewentualnie nakierował na dobry tok rozumowania.

Mam odwzorowanie:
\(\displaystyle{ f:R^{3} \rightarrow R^{4}}\)zdefiniowane przez
\(\displaystyle{ f\left(x,y,z\right)=\letf(3x-y+z,-3x+y-z,0,6x-2y+2z\right)}\)
czyli szukam pierwsze jakiejś bazy dla jadra
\(\displaystyle{ Kerf f=\left\{ \left(x,y,z\right) \in R^{3} :3x-y+z=0,-3x+y-z=0,0,6x-2y+2z=0\right\}=}\)widać,że pierwsze równanie i ostatnie jezeli podzielimy to ostatnie przez 2 jest takie samo czyli uzależniam \(\displaystyle{ z=y-3x\}\) i otrzymuje
\(\displaystyle{ =\left\{ x\left( 1,0,-3\right)+y\left( 0,1,1\right): x,y \in R \right\}=lin\left\{ \left( 1,0,-3\right),\left( 0,1,1\right) \right\}}\)Czyli bazą jądra są wektory \(\displaystyle{ \left( 1,0,-3\right),\left( 0,1,1\right)}\) Co oznacza ,że jadro nie jest trywialne czyli nie ejst monomorfizmem co juz wyklucza,aby odwzorowanie było izomorfizmem?

Szukam baz dla obrazu :
\(\displaystyle{ IMf=\left\{ x,y,z \in R : x\left( 3,-3,0,6\right)+y\left( -1,1,0,-2\right)+z\left( 1,-1,0,2\right) \right\}}\)czyli bazą jest,np. wektor \(\displaystyle{ \left( -1,1,0,-2\right)}\),który jest liniowo niezależny toteż stanowi bazę dla tego obrazu .Czyli odwzorowanie jest epimorfizmem.

I teraz moje pytania:
JEzeli jadro wychodzi trywialne to odwzorowanie jest monomorfizmem,a jaka jest jego baza?
Jeżeli wektory w obrazie wyjda l.zależne to czy odwzorowanie jest epimorfizmem?
ODPOWIEDZ