Macierz ta jest symetryczna, gdzie:W jaki sposób udowodnić, że poniższa macierz jest dodatnio określona dla każdego n?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-1 &2 &-1 &\cdots &0 &0 \\
0 & -1 &2 &\cdots &0 &0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0&0 &0 &\cdots &-2 &2
\end{bmatrix}_{n\times n}}\)
\(\displaystyle{ a_{11} = 2 > 0 \\
\det \begin{bmatrix}
2 & -1\\
-1 & 2
\end{bmatrix} = 5 > 0\\
\det \begin{bmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1& 2 & -1\\
0& -1 & 2
\end{bmatrix} = 4 > 0\\
\cdots}\)
oraz ma wyrazy na przekątnej dodatnie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
+ & & & \\
& + & & \\
& & \ddots & \\
& & & +
\end{bmatrix}}\)
Czy to wystarczy żeby stwierdzić, że macierz ta jest dodatnio określona dla każdego n?
