kilka zadań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mardar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2007, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hmm...
Podziękował: 1 raz

kilka zadań

Post autor: mardar »

Witam, mam problem z paroma zadaniami (z matmy zawsze byłem do du...). czy mógłby ktoś mi (pomóc) zrobić je?
1: Wyznaczyć część rzeczywistą liczby \(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{5}}{(\sqrt{3}-i)^{4}}}\)
2: Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(z)=z^{4}+z^{3}-14z^{2}+26z-20}\) wiedząć, że W(1+i)=0
3: Przez prostą \(\displaystyle{ l:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-3}}\) przeprowadzić płaszczyznę prostopadła do płaszczyzny 3x-2y+4z+6=0
4: Wyznaczyć odległość punktu P=(2,-6,1) od płaszczyzny: 2x+y-5z+1=0
5: Spośród wektorów \(\displaystyle{ x^{2}+x+2, 1-x^{2}, x^{2}+2x+1, x+5, 2x+5}\) wybrać bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)

temat ten znajduje sie też w innym dziale i został umieszczonony tam przez pomyłke.
Awatar użytkownika
aikon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 48 razy

kilka zadań

Post autor: aikon »

1.
Robi się to korzystając z postaci trygonometrycznej.
Przyjmujesz:
\(\displaystyle{ 1+i = z_1\\
\sqrt{3} - i = z_2}\)

I przekształcasz każdą z nich w postać tryg.:
\(\displaystyle{ z = r(\cos\phi + i \sin\phi)}\)
gdzie r to moduł a fi to argument.

Wyznaczasz więc argument i moduł tych liczb:
\(\displaystyle{ |z_1| = \sqrt{2} \\
|z_2| = 2 \\
\phi_1 = \frac{\pi}{4} \\
\phi_2 = \frac{11 \pi}{6}}\)


Czyli podstawiając do postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^5}{(\sqrt{3} -i)^4} = \frac{[\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))]^5}{[2(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6}))]^4}}\)

No i wyliczamy:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^5}{(\sqrt{3} -i)^4} = \frac{(\sqrt{2})^5 (\cos(\frac{5 \pi}{4}) + i\sin(\frac{5 \pi}{4}))}{2^4(\cos(\frac{4 11\pi}{6}) + i\sin(\frac{4 11\pi}{6}))} =
\frac{4\sqrt{2} (\cos(\frac{5 \pi}{4}) + i\sin(\frac{5 \pi}{4}))}{16(\cos(6\pi + \frac{4\pi}{3}) + i\sin(6\pi + \frac{4\pi}{3}))} = \\
= \frac{4\sqrt{2} (\cos(\frac{5 \pi}{4}) + i\sin(\frac{5 \pi}{4}))}{16(\cos( \frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))} = \frac{4\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i)}{16(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)}}\)

Teraz tylko pomnożyć, podzielić i będziesz miał liczbę postaci a+bi, czyli część rzeczywistą i urojoną.




[ Dodano: 17 Luty 2007, 16:09 ]
2.
\(\displaystyle{ W(z) = z^4 + z^3 -14z^2 +26z -20}\)

Wykorzystuje się tu twierdzenie, że jeśli jakaś liczba \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomianu, to jej sprzężenie \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też jest pierwiastkiem tego wielomianu. Czyli mamy już dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_1 = 1+i \\
z_2 = \overline{z_1} = 1-i}\)


Skoro mamy dwa pierwiastki, to możemy powiedzieć, że nasz wielomian jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ (z - z_1) (z-z_2)}\).
\(\displaystyle{ (z - z_1) (z-z_2) = [z - (1+i)][z - (1-i)] = z^2 -2z +2}\).

Wystarczy teraz podzielić wielomian
\(\displaystyle{ W(z) = z^4 + z^3 -14z^2 +26z -20}\)
przez
\(\displaystyle{ z^2 -2z +2}\)
Wynikiem tego dzielenia jest dwumian \(\displaystyle{ z^2 + 3z - 10}\). Pierwiastki tego dwumianu łatwo wyliczyć, są to:
\(\displaystyle{ z_3 = -5 \\
z_4 = 2}\)


Czyli ostatecznie wszystkie pierwiastki wielomianu to:
\(\displaystyle{ z_1 = 1+i \\
z_2 = 1-i \\
z_3 = -5 \\
z_4 = 2}\)
mardar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2007, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hmm...
Podziękował: 1 raz

kilka zadań

Post autor: mardar »

Wielkie dzięki aikon. A czy ktoś potrafi zrobić pozostałe zadanka?
Awatar użytkownika
aikon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 48 razy

kilka zadań

Post autor: aikon »

Myślę że byłbym w stanie zrobić jeszcze ze 2-3, ale teraz nie mam czasu.
Jak pomogłem to kliknij w "Pomógł"
mardar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2007, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hmm...
Podziękował: 1 raz

kilka zadań

Post autor: mardar »

Hej aikon, a czy jakbyś miał chwile czasu dziś to czy mógł byś jeszcze spróbować zrobić bo te zadania są mi bardzo potrzebne?
ODPOWIEDZ