Macierz zerowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
forget24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 5 lis 2011, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Macierz zerowa

Post autor: forget24 »

Wykazać prawdziwość takiego stwierdzenia dla macierzy zespolonej \(\displaystyle{ A}\):
Istnieje n takie, że macierz \(\displaystyle{ A^{n}}\) jest macierzą zerową \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) wszystkie wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są zerami.
Jeśli dobrze rozumiem, to trzeba pokazać, że z (1) wynika (2), oraz że z (2) wynika (1), jeśli części zdania oznaczę odpowiednio przez (1) i (2) ?
Nie wiem czy istnieje jakaś własność mówiąca o wartościach własnych macierzy podniesionej do n-tej potęgi. Wówczas można by było pokazać \(\displaystyle{ (2) \Rightarrow (1)}\). Nie mam innego pomysłu.
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Macierz zerowa

Post autor: Ein »

Dam Ci wskazówki do obu stron.

Macierz zespoloną można sprowadzić do postaci górnotrójkątnej (istotne jest tutaj założenie, że pracujemy w przestrzeni zespolonej) -- elementy diagonali to wszystkie wartości własne tej macierzy. Poeksperymentuj z podnoszeniem do potęgi macierzy górnotrójkątnych, by zobaczyć co się dzieje z przekątną...
Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Macierz zerowa

Post autor: zidan3 »

Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, zatem macierz \(\displaystyle{ A}\) ma postac Jordana.
forget24 pisze: Nie wiem czy istnieje jakaś własność mówiąca o wartościach własnych macierzy podniesionej do n-tej potęgi. Wówczas można by było pokazać \(\displaystyle{ (2) \Rightarrow (1)}\). Nie mam innego pomysłu.
A podnoszenie macierzy w postaci Jordana do dowolnej potegi jest bardzo proste.
Z tego własnie łatwo pokazać.
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Macierz zerowa

Post autor: Ein »

Nie potrzeba nam tutaj macierzy w postaci Jordana. Wystarczy macierz górnotrójkątna, ponieważ jesteśmy zainteresowani tylko przekątną tej macierzy (która zresztą będzie identyczna -- modulo kolejność wektorów bazowych -- z tą z macierzy w postaci Jordana). Potęga macierzy górnotrójkątnej ma bardzo ładną przekątną.
forget24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 5 lis 2011, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Macierz zerowa

Post autor: forget24 »

Tak, sprawdziłem, przekątna macierzy górnotrójkątnej podniesionej do n-tej potęgi będzie po prostu tymi samymi wyrazami, podniesionymi do potęgi n-tej.
Mam pytanie:
Macierz zespoloną można sprowadzić do postaci górnotrójkątnej (istotne jest tutaj założenie, że pracujemy w przestrzeni zespolonej)
Czy jest to twierdzenie,czy jest to ogólnie wiadome?
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Macierz zerowa

Post autor: Ein »

Nie wiem, co masz na myśli mówiąc "ogólnie wiadome". Wydaje mi się, że to jest tak podstawowy fakt z przestrzeni liniowych (zresztą dosyć prosty do uwodnienia), że powinien być wyłożony w ramach każdego kursu algebry liniowej. Niemniej jednak, jeśli go nie miałeś, to być może miałeś twierdzenie, na które powołał się zidan3 -- że każda macierz zespolona ma postać Jordana. Na jedno wychodzi, bo i tak otrzymujesz macierz górnotrójkątną (z wartościami własnymi na diagonali).
ODPOWIEDZ