Mam dwa zadanka na dowód. Prosiłbym o jakieś nakierowanie bo nie mam pomysłu, szczególnie na to pierwsze.
z góry dziękuję!
1.Wykazac, ze wszystkie wartosci własne macierzy sa rózne od zera wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest
nieosobliwa.
2. Niech macierze \(\displaystyle{ A, B}\) beda macierzami kwadratowymi stopnia \(\displaystyle{ n}\), przy czym o macierzy \(\displaystyle{ B}\) zakładamy, ze
jest odwracalna. Wykazac, ze macierze \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B \cdot A \cdot B^{-1}}\) maja te same wartosci własne.
Wartości własne macierzy
-
DemoniX
- Użytkownik
- Posty: 197
- Rejestracja: 13 wrz 2008, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck
- Podziękował: 22 razy
Wartości własne macierzy
Ostatnio zmieniony 15 mar 2012, o 00:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
Ein
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Wartości własne macierzy
1. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie macierzą, a \(\displaystyle{ T}\) operatorem liniowym przez nią wyznaczonym. Zachodzi:
\(\displaystyle{ 0}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ T}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ Tv=0v=0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) istnieje niezerowy \(\displaystyle{ v\in\text{ker}(T)}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ T}\) nie jest różnowartościowy \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ T}\) nie jest odwracalny.
2. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ v}\) wektorem z nią stowarzyszonym. Istnieje wektor \(\displaystyle{ y}\) taki, że \(\displaystyle{ B^{-1}y=v}\) (dlaczego?). Czemu się równa \(\displaystyle{ BAB^{-1}y}\)?
W drugą stronę. Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ BAB^{-1}}\), a \(\displaystyle{ v}\) wektorem z nią stowarzyszonym, czyli \(\displaystyle{ BAB^{-1}v=\mu v}\). Przemnóż teraz tę równość z lewej strony przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\).
\(\displaystyle{ 0}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ T}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ Tv=0v=0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) istnieje niezerowy \(\displaystyle{ v\in\text{ker}(T)}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ T}\) nie jest różnowartościowy \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ T}\) nie jest odwracalny.
2. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ v}\) wektorem z nią stowarzyszonym. Istnieje wektor \(\displaystyle{ y}\) taki, że \(\displaystyle{ B^{-1}y=v}\) (dlaczego?). Czemu się równa \(\displaystyle{ BAB^{-1}y}\)?
W drugą stronę. Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ BAB^{-1}}\), a \(\displaystyle{ v}\) wektorem z nią stowarzyszonym, czyli \(\displaystyle{ BAB^{-1}v=\mu v}\). Przemnóż teraz tę równość z lewej strony przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\).