Uzasadnić, że obrót na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) wokół początku układu współrzędnych o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest przekształceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
Baza standardowa - \(\displaystyle{ (1,0), (0,1)}\)
Macierz będzie się składać ze współrzędnych \(\displaystyle{ x: -\cos \alpha}\) , a \(\displaystyle{ y: \sin \alpha}\)
Jedyny problem jaki mam to jak to zapisać? Uzasadnić, że coś jest liniowe można poprzez sprawdzenie addytywności i jednorodności, lecz gdzie tam wpleść ów kąt?
Dziękuję za pomoc : )
Uzasadnić obrót na płaszczyźnie
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 26 gru 2010, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 4 razy
Uzasadnić obrót na płaszczyźnie
Ostatnio zmieniony 5 mar 2012, o 23:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
Uzasadnić obrót na płaszczyźnie
Kąt jest tu wielkością stałą dla danego przekształcenia. Traktujesz go jak parametr.
Traktujesz obrót jako przekształcenie płaszczyzny o stały kąt.
Wzory:
\(\displaystyle{ x'=xcos \alpha -ysin \alpha \\
y'=xsin \alpha +yc \alpha os \alpha}\)
Macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}cos \alpha &-sin \alpha \\sin \alpha & cos \alpha \end{array}\right]}\)
Pozdrawiam.
Traktujesz obrót jako przekształcenie płaszczyzny o stały kąt.
Wzory:
\(\displaystyle{ x'=xcos \alpha -ysin \alpha \\
y'=xsin \alpha +yc \alpha os \alpha}\)
Macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}cos \alpha &-sin \alpha \\sin \alpha & cos \alpha \end{array}\right]}\)
Pozdrawiam.