twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni liniowych

[epicka_nemesis]

Niech \(\displaystyle{ f: V \rightarrow V'}\) zaś \(\displaystyle{ f - liniowa}\) (homomorfizm), wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe (homomorfizm)
\(\displaystyle{ F: V/_{kerf} \rightarrow f(V)}\) takie, że \(\displaystyle{ F \circ k=f}\) gdzie k-homomorfizm kanoniczny taki, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in V}\) mamy \(\displaystyle{ k(x)=[x]}\) oraz \(\displaystyle{ k:V \rightarrowV/_{kerf}}\)
Jak tego dowieść?

[szw1710]

Każdy element \(\displaystyle{ [x]\in V/\text{ker}f}\) jest postaci \(\displaystyle{ [x]:=x+\text{ker}f.}\) Wystarczy położyć \(\displaystyle{ F([x]):=f(x)}\) i wykazać, że tak zdefiniowane odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) jest homomorfizmem. Jednoznaczności dowodzimy w ten sposób, że zakładając, że \(\displaystyle{ F}\) ma opisaną w twierdzeniu własność, \(\displaystyle{ F}\) musi już mieć postać \(\displaystyle{ F([x])=f(x).}\)