Jądro, obraz, wymiar

[epicka_nemesis]

Wykaż, że:
Jeśli funkcja \(\displaystyle{ \varphi :V \rightarrow V'}\) jest przekształceniem liniowym i \(\displaystyle{ \dim V< \infty}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ \dim V = \dim \ker \varphi + \dim \text{im} \, \varphi}\)
gdzie \(\displaystyle{ \text{im} \, \varphi}\) to obraz przekształcenia liniowego zaś
\(\displaystyle{ \ker \varphi}\) to jądro tego przekształcenia.

[brzoskwinka1]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ V/_{\mbox{Ker}\varphi}}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ \mbox{Im}\varphi}\)

[Ein]

Bez odwoływania się do twierdzenia o izomorfizmie (choć z tą samą ideą), twierdzenie to (zwane twierdzeniem o indeksie) można udowodnić następująco:

Istnieje \(\displaystyle{ U}\) podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) taka, że \(\displaystyle{ V=\text{ker}\varphi\oplus U}\). Łatwo można wykazać, że \(\displaystyle{ \varphi|_U}\) jest różnowartościowa i na \(\displaystyle{ \text{im}\varphi}\), a więc \(\displaystyle{ U\cong\text{im}\varphi}\). Stąd \(\displaystyle{ V\cong\text{ker}\varphi\oplus\text{im}\varphi}\), a więc \(\displaystyle{ \dim V=\dim\text{ker}\varphi+\dim\text{im}\varphi}\).

(No dobra, w sumie to jest to prawie że dowód twierdzenia o izomorfizmie, który zaproponowała brzoskwinka).