Podać interpretację geometryczną wskazanych zbiorów

[namruf15]

Witam.

Mam zadanie, które polega na wymienionym wyżej określeniu interpretacji geometrycznej danego zbioru:

\(\displaystyle{ lin[(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)]}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\).

I tutaj moje pytanie - kiedy powłoka wektorowa jest liniowo zależna wiemy że mamy możliwe kombinacje wektorów na danej płaszczyźnie i ogólnie można stwierdzić, że zbiór rozpina płaszczyznę. Ale co jeśli wektory są liniowo niezależne? Wystarczy zapisać jako wynik te 3 wektory (t.j jako jedyne możliwe kombinacje)?

Jeżeli się w czymś mylę proszę o poprawę, pozdrawiam.

[szw1710]

Trzy wektory generujące tę liniową powłokę są liniowo niezależne. A zatem ta powłoka jest całą przestrzenią.

[namruf15]

Hm, nie jestem pewien czy do końca w takim razie rozumiem liniową zależność i niezależność. Kiedy wektory są liniowo zależne w danej przestrzeni, można w niej znaleźć ich kombinacje liniowe. Idąc dalej, jeżeli sprawdzamy ich powłokę liniową możemy spróbować dowieść, że jest nią ogólnie zbiór zmiennych z wybranej przestrzeni z pewną ilością wymiarów.
Ale kiedy wektory są liniowo niezależne to znaczy, że nie mają innej kombinacji liniowej niż one same? I dalej, w zadaniu tutaj wychodzi, że jeżeli są liniowo niezależne (i są de facto swoją jedyną kombinacją liniową) to z tego powodu są całą przestrzenią (bo nic innego "nie istnieje")?

[szw1710]

Trzy wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyznacznik jest niezerowy. Króciutkie kryterium.

[namruf15]

Tak, to kryterium rozumiem, jednak nie do końca jestem pewny czy dobrze rozumiem powiązanie liniowej zależności i niezależności w związku z powłoką liniową wektorów. Czy to co napisałem we wcześniejszym poście jest prawidłowe?

[szw1710]

Powłoka liniowa to nie zbiór zmiennych, lecz zbiór wektorów będących kombinacjami liniowymi generatorów.

[namruf15]

Tak, racja, to wymaga poprawy, ale jeżeli chodzi o konsensus - czyli wynik, kiedy powłoka liniowa zawiera wektory liniowo zależne a kiedy wektory liniowo niezależne - jest poprawny?

[szw1710]

Nie zawsze powłoka liniowa rozpięta przez wektory liniowo niezależne jest całą przestrzenią. Np. powłoka generowana przez dwa nierównoległe wektory jest płaszczyzną przechodzącą przez początek układu. Jeśli do tych dwóch wektorów dodamy trzeci, to

a) jeśli jest z nimi liniowo zależny, to nic się nie zmienia
b) jeśli jest z nimi niezależny, to powłoką jest przestrzeń trójwymiarowa.

Itp. Dobrej nocy.

[namruf15]

Dziękuję bardzo za poświęcony czas .