Twierdzenie Homomorfizm+izomorfizm

[epicka_nemesis]

Mam do udowodnienia twierdzenie:
Przy każdych ustalonych bazach \(\displaystyle{ E= \{ e{i} \}_{i=1}^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ G= \{ g{i} \}_{i=1}^{n}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) odpowiednio, przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi : Hom_{k}(V,W) \to M_{m \times n}(K)}\) określone wzorem \(\displaystyle{ \forall f \in Hom_{k}\quad (V,W)}\) \(\displaystyle{ \varphi (f)=M_{EG}(f)}\) jest izomorfizmem przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ Hom_{k}(V,w)}\) oraz \(\displaystyle{ M_{m \times n}(k)}\)

[Ein]

Jak w poprzednim wątku, masz do pokazania kilka rzeczy:

1. że \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona,
2. że \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem,
3. że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.

Z czym problem konkretnie?

[epicka_nemesis]

Co to znaczy, że funkcja jest dobrze określona?

[Ein]

Chodzi o to, że jak weźmiesz jakieś \(\displaystyle{ f}\), to \(\displaystyle{ M_{EG}(f)}\) jest zdefiniowane w sposób jednoznaczny. Tutaj jednakże możesz to zrobić w tylko jeden sposób, więc jednoznacznie, a zatem właściwie nie ma co pokazywać. Pokazywanie, że funkcja jest dobrze określona, jest zazwyczaj wymuszone definiowaniem funkcji na klasach abstrakcji, co tutaj nie ma miejsca. Słowem, przesadziłem trochę -- zapomnij o 1.