przestrzeń liniowa,homomorfizm

[epicka_nemesis]

Niech \(\displaystyle{ V,W}\) to przestrzenie liniowe, \(\displaystyle{ { e_{i} \right\} _{i=1}^{n}}\) to baza \(\displaystyle{ V}\)
zaś \(\displaystyle{ \left\{ g_{i} \right\} _{i=1}^{n}}\)
to układ wektorów przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm \(\displaystyle{ f:V \to W}\) taki, że \(\displaystyle{ f \left( e_{i} \right) =g_{i}}\), jest on określony \(\displaystyle{ f \left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i} \right) =\sum_{i=1}^{n} x_{i}g_{i}}\)
potrzebuję dowodu.

[Ein]

Masz kilka rzeczy do sprawdzenia:

1. że tak zadana funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem,
2. że \(\displaystyle{ f(e_i)=g_i}\),
3. że \(\displaystyle{ f}\) jest jedynym takim homomorfizmem.

Z którym punktem masz problem?

[epicka_nemesis]

Z trzecim

[Ein]

Załóżmy, że istnieje homomorfizm \(\displaystyle{ f':V\to W}\) taki, że \(\displaystyle{ f'(e_i)=g_i}\). Niech \(\displaystyle{ v\in V}\). Wektor \(\displaystyle{ v}\) w bazie \(\displaystyle{ (e_i)}\) ma jednoznaczną postać: \(\displaystyle{ v=\sum x_ie_i}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f'}\) jest liniowy (a więc jednorodny i addytywny), to zachodzi: \(\displaystyle{ f'\left(\sum x_ie_i\right)=\sum x_if'(e_i)=\sum x_ig_i=f\left(\sum x_ie_i\right)}\). A więc dla każdego \(\displaystyle{ v\in V}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f'(v)=f(v)}\), co dowodzi jedyności \(\displaystyle{ f}\).