Niech \(\displaystyle{ V,W}\) to przestrzenie liniowe, \(\displaystyle{ { e_{i} \right\} _{i=1}^{n}}\) to baza \(\displaystyle{ V}\)
zaś \(\displaystyle{ \left\{ g_{i} \right\} _{i=1}^{n}}\)
to układ wektorów przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm \(\displaystyle{ f:V \to W}\) taki, że \(\displaystyle{ f \left( e_{i} \right) =g_{i}}\), jest on określony \(\displaystyle{ f \left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i} \right) =\sum_{i=1}^{n} x_{i}g_{i}}\)
potrzebuję dowodu.
przestrzeń liniowa,homomorfizm
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy
przestrzeń liniowa,homomorfizm
Ostatnio zmieniony 4 mar 2012, o 17:30 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
przestrzeń liniowa,homomorfizm
Masz kilka rzeczy do sprawdzenia:
1. że tak zadana funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem,
2. że \(\displaystyle{ f(e_i)=g_i}\),
3. że \(\displaystyle{ f}\) jest jedynym takim homomorfizmem.
Z którym punktem masz problem?
1. że tak zadana funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem,
2. że \(\displaystyle{ f(e_i)=g_i}\),
3. że \(\displaystyle{ f}\) jest jedynym takim homomorfizmem.
Z którym punktem masz problem?
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
przestrzeń liniowa,homomorfizm
Załóżmy, że istnieje homomorfizm \(\displaystyle{ f':V\to W}\) taki, że \(\displaystyle{ f'(e_i)=g_i}\). Niech \(\displaystyle{ v\in V}\). Wektor \(\displaystyle{ v}\) w bazie \(\displaystyle{ (e_i)}\) ma jednoznaczną postać: \(\displaystyle{ v=\sum x_ie_i}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f'}\) jest liniowy (a więc jednorodny i addytywny), to zachodzi: \(\displaystyle{ f'\left(\sum x_ie_i\right)=\sum x_if'(e_i)=\sum x_ig_i=f\left(\sum x_ie_i\right)}\). A więc dla każdego \(\displaystyle{ v\in V}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f'(v)=f(v)}\), co dowodzi jedyności \(\displaystyle{ f}\).