wyznacz współrzędne wektora w bazie

[kujdak]

Dowieść, że układ wektorów \(\displaystyle{ e_1=(1,0,1,0), e_2=(1,1,0,0), e_3=(0,1,1,1), e_4=(0,0,1,1)}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\) i wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ x}\) w tej bazie: \(\displaystyle{ a=(2,0,-1,-2)}\)

Rozwiązanie:
Tworze macierz, jej rząd jest równy \(\displaystyle{ 4}\) wiec wektory są niezależne, wiec tworzą bazę \(\displaystyle{ R^{4}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\1&0&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}}\)
Eliminacja Gaussa, następnie:
\(\displaystyle{ a=x \cdot e_1+y \cdot e_2+z \cdot e_3+p \cdot e_4}\)
\(\displaystyle{ x,y,z,p}\) są to współrzędne tego wektora \(\displaystyle{ x}\)?

[marines27]

x,y,z,p są to współrzędne tego wektora x?

Tak, policz to sprawdzimy swoje wyniki.

[kujdak]

\(\displaystyle{ x=(1,1,-1,-1)}\)?

[marines27]

\(\displaystyle{ a = e_1 + e_2 - e_3 - e_4}\) tzn. \(\displaystyle{ x = 1, y = 1, z = -1, p = -1}\)