Macierz Jordana -gdzie jedynki

[michary91]

Witam
Mam takie coś:

Rozpotrzmy macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1\end{array}\right]}\)
Wtedy \(\displaystyle{ w(\lambda)= (\lambda -2)^{4}}\)

\(\displaystyle{ (A-2I)^{2} =\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ r((A-2I)^{0})=4}\)
\(\displaystyle{ r(A-2I)=2}\)
\(\displaystyle{ r((A-2I)^{m})=0}\) dla \(\displaystyle{ m \ge 2}\)

Stąd
\(\displaystyle{ q _{1}=4}\)
\(\displaystyle{ q _{2}=2}\)
\(\displaystyle{ q _{3}=0}\)
Oraz
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

I teraz moje pytanie:
Co mają wspólnego te \(\displaystyle{ q _{i}}\) z postacią Jordana macierzy \(\displaystyle{ B}\)? Jak na to się patrzy?

[pilkarz_amator]

\(\displaystyle{ q _{i}}\) jest to ilość klatek macierzy Jordana wymiaru niewiększego od \(\displaystyle{ i}\). Źle policzyłeś \(\displaystyle{ q _{1}}\). \(\displaystyle{ q _{i} = r((A-2I) ^{i-1}) - r((A-2I) ^{i})}\), więc w przypadku \(\displaystyle{ q _{1}}\) wychodzi 2. W Twoim zadaniu wychodzi więc, że są dwie klatki Jordana wymiaru nie mniejszego od 1 i dwie wymiaru nie mniejszego od 2, czyli dwie klatki wymiaru 2.

[michary91]

Dzięki