Oblicz ker

[anabela92]

Witam, mam problem z takim zadaniem:

\(\displaystyle{ L \left( x,y,z \right) = \left( x+y, y+z, x-z \right)}\)
Do obliczenia:
\(\displaystyle{ L^{ -1} \left( x,y,z \right) = ?\\
\ker L = ?}\)
Z góry dziękuję za odpowiedź

[MarcinSzydlowski]

Aby obliczyć jądro odwzorowania czyli \(\displaystyle{ L^{-1}(0,0,0)}\) rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=0 \\ y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases}}\)

[anabela92]

a co z ker?

[zidan3]

Rozwiązanie powyższego układu rownań opisuje \(\displaystyle{ \ker(L)}\)

[anabela92]

a mógłbyś rozwiązać krok po kroku?

[Marmat]

Ker L to przeciwobraz zera, więc rozwiązanie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=0 \\ y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases}}\)
Macierz tego układu ma postać:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\1&0&-1\end{array}\right]}\)
Jej wyznacznik wynosi zero, więc rząd jest mniejszy niż 3.
Szukamy minora rzędu 2:
Jest to np. minor: a11,a12,a21,a22:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)
usuwamy więc trzecie równanie (spoza minora):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=0 \\ y+z=0 \end{cases}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-x \\ z=x \end{cases}}\)
Rozwiązaniami układu są wszystkie vwektory postaci: (x,-x,x) a bazą KerL jest wektor: (1,-1,1).
Wymiar Ker L wynosi 1.