Witam!
Mam problem z takim zadaniem.
Udowodnić że n zespolonych pierwiastków n tego stopnia z jedności tworzy grupę abelową ze względu na mnożenie liczb zespolonych
Wskazówka ze wzoru Moivre'a wynika że pierwiastki n-tego stopnia z jedności są równe
\(\displaystyle{ e _{k}=\cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}=e ^{\frac{2k\pi}{n}}}\)
\(\displaystyle{ k= 0,1,...,n-1,}\)
Nie wiem czy dobrze rozumiem ale... wystarczy napisać że
np.
\(\displaystyle{ e _{n-1} \cdot e _{n-2}=e _{n-2} \cdot e _{n-1}}\)
Obliczyć osobno lewą i osobno prawą strobnę porównać czy wyjdzie to samo i już ??
Grupa abelowa
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 10 lis 2007, o 17:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 16 razy
Grupa abelowa
Ostatnio zmieniony 29 lut 2012, o 13:51 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Grupa abelowa
O wiele prościej skorzystać z tego, że liczby zespolone z mnożeniem tworzą grupą abelową, a pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki to podzbiór tej grupy. A żeby podzbiór był podgrupą (czyli też grupą) wystarczy, żeby był zamknięty z uwagi na działanie grupowe i branie elementu odwrotnego.
To zaś sprawdza się w tym wypadku natychmiastowo, bo jeśli \(\displaystyle{ x^n=1, y^n=1}\), to także \(\displaystyle{ (xy)^n=1}\) oraz \(\displaystyle{ (x^{-1})^n=1}\).
Q.
To zaś sprawdza się w tym wypadku natychmiastowo, bo jeśli \(\displaystyle{ x^n=1, y^n=1}\), to także \(\displaystyle{ (xy)^n=1}\) oraz \(\displaystyle{ (x^{-1})^n=1}\).
Q.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11405
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Grupa abelowa
musisz tu sprawdzic czy dzialanie jest laczne, wyznaczyc element neutralny i odwrotny do danegoNie wiem czy dobrze rozumiem ale... wystarczy napisać że
np.
Obliczyć osobno lewą i osobno prawą strobnę porównać czy wyjdzie to samo i już ??